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2015考研数二真题 第一篇_2015年数学二考研真题

2015考研数二真题 第二篇_2015考研数学二历年真题(2003年—2014年)

2014年考研数学二真题与解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1

１．当x0时，若ln(12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围



是（ ）

（A）(2,) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,)

1

1212

【详解】ln(12x)~2x，是阶无穷小，(1cosx)~

1

1

2

x是

2

2



阶无穷小，由题意

1可知2

1

所以的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）． 2．下列曲线有渐近线的是

2

（A）yxsinx （B）yxsinx（C）yxsin （D）yx1x

2

1 x

【详解】对于yxsin

1y1

，可知1且lim(yx)lim0，所以有斜渐近线

xxxxxx

yx

应该选（C）

3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在[0,1]上（ ）

（A）当f'(x)0时，f(x)g(x) （B）当f'(x)0时，f(x)g(x) （C）当f(x)0时，f(x)g(x) （D）当f(x)0时，f(x)g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然

1

g(x)f(0)(1x)f(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程．故当f(x)0时，

曲线是凹的，也就是f(x)g(x)，应该选（D）

【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令

F(x)f(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f(1)x，则F(0)F(1)0，且F"(x)f"(x)，故当f(x)0时，曲线是凹的，从而F(x)F(0)F(1)0，即F(x)f(x)g(x)0，也就是f(x)g(x)，应该选（D）

xt27,

4．曲线 上对应于t1的点处的曲率半径是（ ） 2

yt4t1

（Ａ）

（Ｂ） (Ｃ） （Ｄ）5 50100

y"(1y'2)3

2

【详解】 曲线在点(x,f(x))处的曲率公式K，曲率半径R

1

． K

22dxdydy2t42dy12t,2t4，所以1，2本题中3，

dtdtdx2tt2tdxt



对应于t1的点处y'3,y"1，所以K

y"(1y')

2

3



1，曲率半径

R

1

10． K

应该选（C）

5．设函数f(x)arctanx，若f(x)xf'()，则x0

2

x

2

（ ）

（Ａ）1 （Ｂ）

211 （Ｃ） （Ｄ） 323

【详解】注意（1）f'(x)

1133

x0时,arctanxxxo(x)． ，（2）2

31x

2

由于f(x)xf'()．所以可知f'()

1f(x)arctanxxarctanx2

，， 22

xx1(arctanx)13

x)o(x3)

1． 3

3x

x0

2

x2

x0

xarxtanx

2x0x(arctanx)

x(x

2u

6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足0

xy2u2u及． 20，则（ ）2

xy

（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域D上连续，所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值．并

且如果在内部存在驻点(x0,y0)，也就是

uu

0，在这个点处xy

2u2u2u2u2

，由条件，显然ACB0，显然u(x,y)不是极值点，A2,C2,B

xyyxxy

当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上． 所以应该选（A）．【2015考研数二真题】

a

7．行列式

0cab000b

等于

cd000d

2

2

2

2

2

2

2

2

22

（A）(adbc) （B）(adbc) （C）adbc （D）adbc

3

【详解】

0a0cab0

a0ba0b

00babab

a0d0b0c0adbc(adbc)2

cd0cdcd

c0dc0d

00d

应该选（B）．

8．设1,2,3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量1k3，2l3线性无关是向量

1,2,3线性无关的

（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解】若向量1,2,3线性无关，则

10

（1k3，2l3）(1,2,3)01(1,2,3)K，对任意的常数k,l，矩阵K的

kl

秩都等于2，所以向量1k3，2l3一定线性无关．

100



而当10,21,30时，对任意的常数k,l，向量1k3，2l3线性无关，

000

但1,2,3线性相关；故选择（A）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．



1

1

dx

x22x5

11dx1x11

dx|x22x5(x1)24221

【详解】

13

． ()

2428

4

10．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)2(x1),x0,2，则

f(7)

【详解】当x0,2时，f(x)



2(x1)dxx22xC，由f(0)0可知C0，即

f(x)x22x；f(x)为周期为4奇函数，故f(7)f(1)f(1)1．

11．设zz(x,y)是由方程e

2yz

xy2z

7

确定的函数，则dz|11．

,422

【详解】设F(x,y,z)e

2yz

7

xy2z，Fx1,Fy2ze2yz2y,Fz2ye2yz1，当

4

FyFx111z1z1

xy时，z0， ，，所以dz|11dxdy．

,222xFz2yFz222

12．曲线L的极坐标方程为r，则L在点(r,)



,处的切线方程为22

xr()coscos

【详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，x0,y，

22yr()sinsindysincos2

，则L在点(r,),处的切线方程为||

dx2cossin222

y



2



2



(x0)，即y

2



x



2

.

2

13．一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上，若其线密度(x)x2x1，则该细棒的质心坐标x ．

11

x(x)dx(x2xx)dx110

【详解】质心坐标x1． 01

2520

0(x)dx0(x2x1)dx3

1

1

3

2

14．设二次型f(x1,x2,x3)x1x22ax1x34x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围

5

22

2015考研数二真题 第三篇_2015年考研数学(二)真题

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合

题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1) 下列反常积分收敛的是 ( )

(A)





2

(B) 



2

lnx (C)1

dxdx(D) 2xxlnx

x2

sint



2

xdx xe

(2) 函数fxlim(1

t0

在(,)内( )

(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点

1

xcos,x0x(0,0),若f'x在x0处连续则:( ) (3) 设函数fx

0,x0

(A)0 (B)01 (C)2(D)02

(4)设函数f(x)在,内连续，其中二阶导数f(x)的图形如图所示，则曲线

yf(x)的拐点的个数为( )

(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3

(5) 设函数fu,v满足fxy,x2y2 ，则

ux(A)

y

f

u1与v1

f

v

u1v1

依次是 ( )

1111,0 (B) 0, (C),0 (D) 0,

(6)设D是第一象限由曲线2xy1，4xy1与直线y

x，y围成的平面区域，函

数fx,y在D上连续，则

fx,ydxdy ( )

D



(A)

d34

1

sin212sin2

frcos,rsinrdr



1sin212sin2

(B)

d34

f

rcos,rsinrdr frcos,rsindr



(C)

d34



(D)

d34

f

rcos,rsindr

1111

(7) 设矩阵A12a,bd.若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多

14a2d2



解的充分必要条件为 ( )

(A) a,d (B) a,d (C)a,d(D) a,d

222

(8) 设二次型fx1,x2,x3在正交变换xPy下的标准形为2y1，其中y2y3

P(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)则f(x1,x2,x3)在正交变换xQy下的标准形

为( )

222222(A)2y1 (B) 2y1 y2y3y2y3222222(C)2y1(D) 2y1y2y3y2y3

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

xarctantd2y (9)  则 23

dxy3tt

2

x

t1



n

(10)函数f(x)x2在x0处的n阶导数f(0)_________ (11) 设fx连续，x



x2

xftdt，若11,15，则f1

'''

(12)设函数yyx是微分方程yy2y0的解，且在x0处yx取得极值3，则



yx=.

(13)若函数Zzx,y由方程e

x2y3z

xyz1确定，则dz0,0=.

(14) 若3阶矩阵A的特征值为2,2,1，BA2AE，其中E为3阶单位阵，则行列

式B.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．

证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）

设函数f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)kx3.若f(x)与g(x)在x0时是等价无

穷小，求a,b,k的值.

(16) (本题满分10分)

设A>0，D是由曲线段yAsinx(0x



2

)及直线y0，x



2

所围成的平面区域，V1，

V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若V1V2，求A的值.

(17) (本题满分11分)

已知函数f(x,y)满足fxy"(x,y)2(y1)ex，fx(x,0)(x1)e，f(0,y)y22y，

求 f(x,y)的极值.

(18) (本题满分10分) 计算二重积分

(19)(本题满分 11 分)

X已知函数f

x1

2

'x

x(xy)dxdy，其中D(x,y)x

D

2

y22,yx2

，求fx零点的个数？

(20) (本题满分10分)

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介

质的温差成正比，现将一初始温度为120C的物体在20C的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30C，若要将该物体的温度继续降至21C，还需冷却多长时间？

(21) (本题满分10分)

已知函数fx在区间a，+上具有2阶导数，fa0，fx0，f''x0，

设ba，曲线yfx在点b,fb处的切线与x轴的交点是x0，0，证明



ax0b.

(22) (本题满分 11 分)

a10



设矩阵A1a1且A3O.

01a

(1) 求a的值；

(2) 若矩阵X满足XXA2AXAXA2E，E为3阶单位阵，求X.

(23) (本题满分11 分)

120023



设矩阵A133相似于矩阵B0b0.

12a031

（1）求a,b的值；

（2）求可逆矩阵P，使P1AP为对角阵.

2014年考研数学二真题与解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1

１．当x0时，若ln(12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）

（A）(2,) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,)

2．下列曲线有渐近线的是

2

（A）yxsinx （B）yxsinx（C）yxsin （D）yxsin



1212

1x

2

1 x

3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在[0,1]上（ ）

（A）当f'(x)0时，f(x)g(x) （B）当f'(x)0时，f(x)g(x) （C）当f(x)0时，f(x)g(x) （D）当f(x)0时，f(x)g(x)

xt27,

4．曲线 上对应于t1的点处的曲率半径是（ ） 2

yt4t1

（Ａ）

（Ｂ） (Ｃ） （Ｄ）5 50100

5．设函数f(x)arctanx，若f(x)xf'()，则x0

2

x

2

（ ）

（Ａ）1 （Ｂ）

211

（Ｃ） （Ｄ） 323

6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足

2u2u2u

． 0及220，则（ ）

xyxy

（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

7．行列式

0a

a00cc0

b0d

0b0

等于

0d

2

2

2

2

2

2

2

2

adbc （D）adbc （A）(adbc)2 （B）(adbc)2 （C）

8．设1,2,3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量1k3，2l3线性无关是向量1,2,3线性无关的

（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件

2015考研数二真题 第四篇_15考研数二真题

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题【2015考研数二真题】

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)下列反常积分中收敛的是（）



（A

）



2

（B）2





2

lnx

(C)x





2

1

(D)xlnx





2

x ex

sintxt

(2)函数f(x)lim(1在(,)内（）

t0x

（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点

1

xcos,x0

(0,0)，若f(x)在x0处连续，则（） (3)设函数f(x)x

0,x0

（A）1 (B)01 (C)2 (D)02

(4) 设函数f(x)在(,)连续，其二阶导函数f(x)的图形如右图所示，则曲线yf(x)的拐点个数为（）

（A）0 (B)1 (C)2 (D)3

(5).设函数f(u，v)满足f(xy,)xy，则

yx

22

ff

与依次是（） uu1vu1

v1

v1

（A）

1111,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,- 2222【2015考研数二真题】

(6). 设D是第一象限中曲线2xy1,4xy

1与直线yx,y围成的平面区域，函数

f(x,y)在D上连续，则f(x,y)dxdy=（）

D



（A）

d24

1

sin212sin2



f(rcos,rsin)dr（B

）2d4

f(rcos,rsin)dr



（C）

d34

1sin212sin2



f(rcos,rsin)dr（D

）3d4

f(rcos,rsin)dr

1111

(7)．设矩阵A=12a，b=d,若集合Ω=1,2，则线性方程组Axb有无穷多个解的

14a2d2

充分必要条件为（）

（A）a,d (B)a,d (C)a,d (D) a,d

222

(8)设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换xPy下的标准形为2y1y2y3,其中P=(e1,e2,e3)，若

Q(e1,e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换xPy下的标准形为（ ）

222222222222(A):2y1 (B) 2y1 (C) 2y1 (D) 2y1 y2y3y2y3y2y3y2y3

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

xarctantd2y(9) 设,则2 3

dxt1y3tt

（10）函数f(x)x2在x0处的n 阶导数f（11）设函数f(x)连续，(x)

2

x

(n)

(0)



x2

xf(t)dt,若(1)1，'(1)5，则f(1)

'

（12）设函数yy(x)是微分方程yy2y0的解，且在x0处y(x)取值3，则y(x)= （13）若函数zz(x,y)由方程e

x2y3z

''

xyz1确定，则dz(0,0)=

BA2AE，（14）设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，其中E为3阶单位矩阵，则行列式B=

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤.

15、（本题满分10分）

2

设函数f(x)xln(1x)bxsinx，g(x)kx，若f(x)与g(x)在x0是等价无穷小，

求a,b,k的值。 16、（本题满分10分）

设A0，D是由曲线段yAsinx(0x



2

)及直线yo,x



2

所形成的平面区域， V1，V2

分别表示D绕X轴与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若V1V2，求A的值。 17、（本题满分10分）

(x,y)2(y1)ex，fx(x,0)(x1)ex，f(0,y)2y,求f(x,y)的已知函数f(x,y)满足fxy

极值。 18、（本题满分10分） 计算二重积分

x(xy)dxdy，其中D(x,y)x

D

2

y22,yx2。



19、（本题满分10分）

已知函数f(x)





x1

，求f(x)零点的个数。

20、（本题满分11分）

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C的物体在20C恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30C，若要使物体的温度继续降至21C，还需冷却多长时间？ 21、（本题满分11分）

已知函数f(x)在区间a,上具有2阶导数，f(a)0,f(x)0,设ba,曲线yf(x)在点(b,f(b))处的切线与X轴的交点是(x0,0)，证明：ax0b。 22、（本题满分11分）

a10

3

设矩阵A1a1,且A0，（1）求a的值；（2）若矩阵X满足

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