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2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷
一、填空题（每题4分，满分40分） 1．（4分）计算：
= ．
2．（4分）关于x，y的方程组的增广矩阵是．
3．（4分）方程的解为．
4．（4分）已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐
标为 ．
*
5．（4分）已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N）为等差数列，且a1=3，a2=5
，则
=．
6．（4分）已知无穷等比数列{an}的所有项的和为3，则a1的取值范围为 ． 7．（4分）直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为． 8．（4分）在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为 ． 9．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 ． 10．（4分）已知
（0，π），β∈（π，2π），
与
的夹角为θ1，=．
二、选择题（每题4分，满分16分） 11．（4分）如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（ ）
与
的夹角为θ2
，且
，α∈
A．求三个数中最大的数 B．求三个数中最小的数 C．按从小到大排列 D．按从大到小排列 12．（4分）下列有关平面向量分解定理的四个命题中：
①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基； ②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③平面向量的基向量可能互相垂直；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合． 正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（4分）对于向量
（i=1，2，…n），把能够使得|
|+|
|+…+|
|取到最小
值的点P称为Ai（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（ ）
A．A、C的“平衡点”必为O
B．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点 C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一 D．A、B、E、D的“平衡点”必为F 14．（4分）在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（ ） A．1 B． C．4 D．5（+1）
三、解答题（共5题，满分44分）
15．（8分）用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：
．
16．（8分）已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式
中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围． 17．（8分）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线
上单调递
与
两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值． 18．（8分）M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设
，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式； （2）求
的取值范围．
*
19．（12分）对于任意的n∈N，若数列{an}同时满足下列两个条件，则称数列{an}具有“性质m”： ①
；
②存在实数M，使得an≤M成立． （1）数列{an}、{bn}中，an=n（n∈N）、质m”；
（2）若各项为正数的等比数列{cn}的前n项和为Sn，且具有“性质m”，并指出M的取值范围； （3）若数列{dn}的通项公式
（n∈N）．对于任意的n≥3（n∈N），
*
*
*
（n∈N），判断{an}、{bn}是否具有“性
*
，
，证明：数列{Sn}
数列{dn}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．
2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题4分，满分40分） 1．（4分）（2013•长宁区一模）计算：【考点】极限及其运算．
=
．
【分析】先分子分母同除以n，再利用极限的运算性质可求．
2
【解答】解：由题意，，故答案为．
【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．
2．（4分）（2015秋•上海校级期中）关于x，y的方程组
的增广矩阵是
．
【考点】矩阵的应用．
【分析】先把方程组方程组求解．
【解答】解：二元一次方程组
改写为，再由增广矩阵的概念进行
，即，
∴二元一次方程组的增广矩阵是
，
故答案为：
【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．
3．（4分）（2009•嘉定区一模）方程
【考点】三阶矩阵．
x
【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2的一元二次方程，解出x即可
【解答】解：由
x
x
x
，化简得：
方程﹣20×2+4+11×2+20=0
x2x
则方程同解于（2）﹣9×2+20=0
xx
得2=4或2=5， x1=2，x2=log25
故方程的解为x1=2，x2=log25． 故答案为：x1=2，x2=log25
【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．
4．（4分）（2016春•石河子校级期末）已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线且满足
=3
．则点P的坐标为 （
上，
，） ．
【考点】线段的定比分点． 【分析】由题意可得点P分
成的比为λ=
=3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．
【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得
x==，y=，
）．
=﹣，故点P的坐标为（，）．
故答案为：（
【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．
5．（4分）（2010•抚州模拟）已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N）为等差数列，且a1=3，a2=5，则
【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．
*
= 1 ．
【分析】由题意，可先由数列{log2（an﹣1）}（n∈N）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（an﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（an﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而
*
2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷
一、填空题
1．计算：
2．关于x，y的方程组
3．方程
4．5）N已知M（2，，（3，﹣2），点P在直线
5．已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则
=．
6．已知无穷等比数列{an}的所有项的和为3，则a1的取值范围为 ．
7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．
8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为 ．
9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是
上，且满足=3 ．则点P的坐标为．的解为． 的增广矩阵是． =
10．已知
2π）（π，，与
二、选择题
11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（ ） 的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且，α∈（0，π），β∈= ．
A．求三个数中最大的数
C．按从小到大排列
B．求三个数中最小的数 D．按从大到小排列
12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：
①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；
②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③平面向量的基向量可能互相垂直；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合． 正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2 C．3 D．4
13．对于向量2，…n）（i=1，，把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A（ii=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（ ）
A．A、C的“平衡点”必为O
B．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点
C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一
D．A、B、E、D的“平衡点”必为F
14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（ ）
A．1
三、解答题（共5题，满分44分）
15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：
． B． C．4 D．5（+1）
16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在
而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．
上单调递增．若命题P是真命题，
17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线
个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．
与两坐标轴围成一
2016年上海市华师二附中高考数学模拟试卷（文科）
一、填空题
1．0，1，6}，B={x|x+a＞0，x∈R}，A⊆B， 集合A={2，则实数a的取值范围是．2．直线l：3x+4y﹣5=0的单位法向量是 ．
3．复数z=1+4i（i为虚数单位），则|2z+|=
4．满足
5．函数的实数x的取值范围是 的反函数为
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
7．在（1﹣x）11的展开式中系数最大的是第 项．
8．=log3x，x＞0， 奇函数f（x）的定义域为R，满足f（x）则f（x）≥0的解集是 ．9．已知棱长为1的立方体ABCD﹣A1B1C1D1，则从顶点A经过立方体表面到达正方形CDD1C1中心M的最短路线有 条．
10．已知点P（x，y）满足，的取值范围是 ． 11．各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是 ．
12．表示一个两位数，记f（n）=a+b+a×b，如f（12）=1+2+1×2=5，则满足f（n）=n的两位数共有
13．已知椭圆x2+=1，A、B是椭圆的左右顶点，P是椭圆上不与A、B重合的一点，PA、PB的倾斜角分别为α、β，tan（α﹣β）的取值范围是．
14．已知命题：“平面内与是一组不平行向量，且||=||=1，，则任一非零向量， =λ1+λ2（λ1，λ2∈R），若点P在过点O（不与OA重合）的直线l上，则=k（定值），反之也成立，我们称直线l为以与为基底的等商线，其中定值k为直线l的等商比．”为真命题，则下列结论中成立的是 （填上所有真命题的序号）．
①当k=1时，直线l经过线段AB中点；
②当k＜﹣1时，直线l与AB的延长线相交；
③当k=﹣1时，直线l与AB平行；
④l1⊥l2时，对应的等商比满足k1•k2=﹣1；
⑤直线l1与l2的夹角记为θ（θ≠）对应的等商比为k1、k2，则tanθ=．
二、选择题
15．明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（ ）
A．2盏 B．3盏 C．4盏 D．7盏
16．某校某班级有42人，该班委会决定每月第一周的周一抽签决定座位，该班级座位排成6列7行，同学先在写有1、2、3、4、5、6的卡片中任取一张，确定所在列，再在写有1、2、3、4、5、6、7的卡片中任取一张确定所在行，如先后抽到卡片为2、5，则此同学座位为第2列第5行，在一学期的5次抽签中，该班班长5次位置均不相同的概率是（ ） A． B． C． D．
17．直线a、b是空间一组异面直线，长度确定的线段AB在直线a上滑动，长度确定的线段CD在直线b上滑动，△ACD的面积记为S，四面体ABCD的体积记为V，则（ ） A．S为常数，V不确定 B．S不确定，V为常数
C．S、V均为常数 D．S、V均不确定
18．下列四个图象，只有一个符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（k1，k2k3∈R+，b1b2b3≠0）的图象，则根据你所判断的图象，k1、k2、k3之间一定满足的关系是（ ）
A．k1+k2=k3 B．k1=k2=k3 C．k1+k2＞k3 D．k1+k2＜k3
三、解答题
19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1=4．
（1）求直线AB1与A1C1所成角；
（2）求点B到平面AB1C的距离．
20．某公司经过测算投资x百万元，投资项目A与产生的经济效益y之间满足：y=f（x）=﹣+2x+12，投资项目B产生的经济效益y之间满足：y=h（x）=﹣+4x+1． （1）现公司共有1千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？
（2）投资边际效应函数F（x）=f（x+1）﹣f（x），当边际值小于0时，不建议投资，则应如何分配投资？
21．数列{an}、{bn}满足：an+bn=2n﹣1，n∈N*．
（1）若{an}的前n项和Sn=2n2﹣n，求{an}、{bn}的通项公式；
（2）若an=k•2n﹣1，n∈N*，数列{bn}是单调递减数列，求实数k的取值范围．
22．已知F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，O为抛物线的顶点，准线与x轴的交点为M，点N在抛物线上．
（1）求直线MN的斜率的取值范围，记λ=，求λ的取值范围；
（2）过点N的抛物线的切线交x轴于点P，则xN+xP是否为定值？
（3）在给定的抛物线上过已知定点P，给出用圆规与直尺作过点P的切线的作法． 23．已知f（x），x∈R是有界函数，即存在M＞0使得|f（x）|≤M恒成立．
（1）F（x）=f（x+1）﹣f（x）是有界函数，则f（x），x∈R是否是有界函数？说明理由；
（2）判断f1（x）=，f2（x）=9x﹣2•3x是否是有界函数？
），f（x），x∈R是（3）有界函数f（x），x∈R满足f（x+）+f（x+）=f（x）+f（x+
否是周期函数，请说明理由．
2016年上海市华师二附中高考数学模拟试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．0，1，6}，B={x|x+a＞0，x∈R}，A⊆B， 集合A={2，则实数a的取值范围是0∞．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】B={x|x+a＞0，x∈R}=（﹣a，+∞），又A⊆B，可得﹣a＜0，解出即可得出．
【解答】解：B={x|x+a＞0，x∈R}=（﹣a，+∞），
又A⊆B，∴﹣a＜0，∴a＞0．
故答案为：（0，+∞）．
2．直线l：3x+4y﹣5=0的单位法向量是
【考点】
直线的方向向量．
【分析】
根据直线
l
的方程写出它的法向量，再求出对应的单位法向量．
【解答】
解：因为直线
l
的方程为：
3x
+
4y﹣
5=0
，【上海华师大二附中】
所以法向量为=（3，4），
所以单位法向量为=×（3，4）=（，）；
同理，还有﹣=﹣×（3，4）=．
故答案为：或．
3．复数z=1+4i（i为虚数单位），则|2z+|=5．
【考点】复数求模．
【分析】由z=1+4i，得，然后代入化简，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：由z=1+4i，
得．
则，
∴|2z+|=
故答案为：5．
4．满足的实数x的取值范围是 ． ．
【考点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】利用行列式展开表达式，求解三角方程即可．
【解答】解：，即
，∴．
故答案为：
5．函数． 的反函数为．
【考点】反函数．
【分析】得出值域为[﹣1，1]，求解x=arcsiny，y∈[﹣1，1]，换变量写出解析式即可．
【解答】解：∵函数
x=arcsiny，y∈[﹣1，1]，
∴反函数为：y=arcsinx，x∈[﹣1，1]
故答案为：y=arcsinx，x∈[﹣1，1]
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为
的值域为[﹣1，1]，
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
．
【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，
∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，
∴l=2h，
设母线与轴的夹角为θ，
则cosθ==，
故θ=，
． 故答案为：
7．在（1﹣x）11的展开式中系数最大的是第 7 项．
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，求出正的系数，选出最大值．
【解答】解：由题意，（1﹣x）11的展开式中系数时最大，即第7项．
故答案为：7．
8．奇函数f（x）的定义域为R，满足f（x）=log3x，x＞0，则f（x）≥0的解集是
【考点】函数的图象；对数函数的图象与性质．
【分析】根据已知，画出函数的图象，数形结合可得f（x）≥0的解集．
【解答】解：∵奇函数f（x）的定义域为R，满足f（x）=log3x，x＞0，
∴函数f（x）的图象如下图所示：
2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷
一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知全集U=R，集合
2．设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2 是纯虚数，则a=．
3．经过圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是
4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，
5．已知数列{an}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═ ．
6．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 ．
7．对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则
=
，则A=．，则∁UM= ．
第1页（共28页）
8．（理科）极坐标系中两点【上海华师大二附中】
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ，，则线段AB的长等于
10．若关于x，y的二元一次方程组
是 ．
11．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．
第2页（共28页）
至多有一组解，则实数m的取值范围
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