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谁的平方是2 第一篇_个位是5的两位数的平方规律

个位是5的两位数的平方规律

首先，我们来看下面一组等式：

同学们，从这组式子出发，不用计算，你能得出55×55 、65×65、75×75、85×85……的值么？

下面我们来研究一下这组式子的规律：

1）总的特征：①因数都是相同的两位数，两位数的个位都是5；

②计算结果的末两位都是25。

2）为了进一步研究因数和乘积的关系，我们来看看因数的十位和结果之间的关系。

那么，请思考：这里的1、2、3、4和乘积的2、6、12、20之间有什么关系呢？ 经过思考，你应该能够发现：

现在请大家先列竖式计算一下，55×55的结果是多少？（3025）同样有，30=5×6。于是我们可以很快的写出：65×65=4225、75×75=5625、85×85=7225…… 真的是这样吗？道理何在呢？下面从两个思路来解释这个问题。

思路（一）：令a5表示个位是5的自然数，其中a是任意自然数，a的个位位于a5的十位处。也就是说：a5a105。于是有：

a5a5(a105)(a105)

aa1002a5025 aa100a10025

a(a1)10025

注意最后的结果！因为a是自然数，所以a(a1)100的末两位正好是00，故a(a1)10025的末两位正好是25。对于两位数的情形而言，a(a1)正好是用十位上的数乘以比它大1的数。所以，对个位是5的两位数与自己做乘法，其乘积可以很快用如下方式写出：1）先观察十位上的数是多少；2）用十位上的数乘以比它大1的数，写出计算结果；3）直接将25写在2）的结果的后面，即是最终结果。（注：这里需要反复强调两点：①因数的个位是5；②个位是5的数与自己做乘法。至于三位数或者以上，仍然适用。）

思路（二）：考虑一个数与自己相乘（即这个数的平方）的几何意义——以这个数为边长的正方形的面积。比如，以35为例，35×35=1225 即表示边长为35的正方形的面积是1225。

作图如下:

经过一番剪拼，我们把一个边长为35的正方形变为了一个长为40、宽为30的长方形和一个个边长为5的小正方形。也就是：35×35=30×40+25=3×4×100+25。与思路（一）吻合。

上述结论的一个简单推广：

请同学们，计算下列一组算式的值，并自己研究其规律。

[附]设计意图：为小学3-6年级学生设计的探究问题，同时兼顾数形结合。

谁的平方是2 第二篇_2完全平方数答案

完全平方数

完全平方数是数论中较为常见的一类问题，经常出现在各种数学竞赛中.在解决完全平方数的有关问题时，需要用到完全平方数的性质及整数的有关知识，比如：

（1） 完全平方数n2的个位数字只能是0、1、4、5、6、9；

（2） n2的十位数字为奇数，当且仅当n2的个数字是6；

（3） n2的个位数字为5则n2的十位数字为2. 上述特征可概括为：完全平方数的未两个数只能是偶0、偶1、偶4、偶9、25、奇6之一.

从上面的性质我们还不难分析出，完全平方数的下列性质：

（4） 形如3k+2、4k2、4k3(kZ)的数不是完全平方数；

（5） 设p为质数，a是完全平方数，若p|a，则p2|a.

1 利用完全平方的特征

例1.求最小的正整数n，使得n32n2是一个奇数的完全平方数.

解：由n32n2n2(n2)为奇数，可知n为奇数.要使n2(n2)为完全平方数，则n2为完全平方数，所以最小的整数n7.

例2.设n是一个正整数，A是一个2n位数，且每个数位上的数字均为4，B是一个n位数，且每个数位上的数字均为8.

证明：A2B4是一个完全平方数. （第七届巴尔干地区数学奥林匹克） 48证明：注意到A(102n1)，B(10n1)， 99

42n16n41616210n422nn(). 故A2B4(101)(101)41010999993

因为3|(210n4)，所以，A2B4是一个完全平方数.

2 引入参数

1 例3.设m、n是正整数，且满足2001m2m22002n2n ○

证明：mn是一个完全平方数. （2002澳大利亚数学奥林匹克）

1化为 证明：由已知得mn，设mnk(kN).则式○

n24002nk2001k2k0，

即(n2001k)2(2001k)22001k2kk(20012002k1).

因为(k,20012002k1)1，所以k和20012002k1均为完全平方数.

故mn是一个完全平方数.【谁的平方是2】

例4.求所有的正整数对(m,n)，使得m24n和n24m均为完全平方数.

解：由对称性，不妨设m„n.

（1）若m„n1，则n24m…n24n4(n2)2.

又n24m„(n1)2n22n1，且其等号不成立，则

n24m(n2)2nm1.故m23n(m2)28t2(tN).

mt24，因为mt2与mt2的奇偶性相同，且mt2mt2，所以，

mt22.解得m5，n6是满足条件的一组解.

（2）若mn，则m24n(m2)24t2(tN).同上，解得mn4. 综上，所有满足条件的正整数对(m,n)(4,4),(5,6),(6,5).

评注：此题利用完全平方数的性质进行适当放缩，分类讨论，再引入参数通过联立方程组进行求解.

例5.求所有的正整数n，使得n36是一个完全平方数，且除了2或3以外，n没有其他的质因数. （2007年湖北省高中数学） 解：设n36(x6)2，其中xN，则nx(x12).

abx2131,依题意，可设其中a1,a2,b1,b2均为非负整数，于是 a2b2x1223,

2a23b22a13b112 （1）

如果a1a20，则3b23b112，这是不可能的.所以a1,a2中至少有一个大

于0，于是x和x12均为偶数，从而a1,a2均为正整数.

若a21，则23b2122a13b1，显然只可能a11（否则左右两边被4除的余数不相同），此时3b263b1，显然只能是b22,b11，此时x6,n108.

若a2…2，则x12是4的倍数，从而x也是4的倍数，故a1…2，此时

2a223b22a123b13

（2）显然a12,a22中至少有一个应为0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）.

(1)当a220，即a22时， 3b22a123b1 3 （3） 此时a120（否则等式左右两边奇偶性不相同），故b2b1.

若b1…2，则（3）式左边是9的倍数，而右边为3，矛盾，故只可能b11，

a121,a123,a13,从而（3）式即3b212a121，它只有两组解和即和b211,b212,b22,

a15,此时，对应的x值分别为24和96，相应的n值分别为864和10368. b3,2

（2）当a120，即a12时， 2a223b23b1 3 （4） 此时显然a220（否则等式左右两边奇偶性不相同），故b2„b1.

若b2…2，则（4）式左边是9的倍数，而右边是3，无解.故b21.

若b20，则2a223b13，只可能b10，此时a24,x4,n64.

a221,a222,若b21，则（4）式即2a223b111，它只有两组解和b110,b111,

a23,a24,即和此时，对应的x值分别为12和36，相应的n值分别为288b1,b2,11

和1728.

因此，符合条件的n值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.

评注：此题通过引入适当的参数，从特殊情形出发，分类讨论，从而解决问题.

3 反证法

例6.设正整数d不等于2、5、13.证明：在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a、b，使得ab1不是完全平方数. （第27届IMO试题）

152，513182. 证明：注意到25132，213－

于是只需证明2d1、5d1、13d1中至少有一个不是完全平方数即可. 否则，假设x、y、zN，使得

1 2d1x2 ○

2 5d1y2 ○

3 13d1z2 ○

1知x为奇数，设x2k1(kN). 由式○

则2d1(2k1)24k24k1.

故d2k22k1，这说明d为奇数.

2、○3知y、z均为偶数，令y2m、z2n(m,nN)代入○2、○3并相减，得由式○

2dn2m2(nm)(nm).

由于2d为偶数，故m、n的奇偶性相同.

从而，(nm)(nm)是4的倍数，即d为偶数，矛盾！

因此，所证结论成立.

评注:反证法是证明此类问题的一种常规方法.

练习题

1. 使得3n81是完全平方数的正整数n有 （ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

(2007年湖北高中数学联赛)

1.解:当n4时，易知3n81不是完全平方数.故设nk4，其中k为正整数，则3n8181(3k1).因为3n81是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正

整数x，使得3k1x2，即3kx21(x1)(x1)，故x1,x1都是3的方幂. 又两个数x1,x1相差2，所以只可能是3和1，从而x2,k1.因此，存在唯一的正整数nk45，使得3n81为完全平方数.故选（B）.

2.设ann2n2(n1,2,).则在数列{an}中 ( )

A.有无穷多个质数 B.有无穷多个平方数

C.有且只有有限多个质数 D.有且只有有限多个平方数

(2006年江苏省高中数学竞赛)

2.解:因为ann2n2n(n1)2，故2|an，且an2.所以，an一定是合数.

从而排除选项A、B，又因为n…2时，n2n2n2n22n1(n1)2，故只有当n1时，a1是完全平方数.

3.集合{1!,2!,,24!}中删去一个元素后，余下的元素之积恰好是完全平方数. （2006年江苏省高中数学竞赛） ３.解：由于(2k)!(2k)(2k1)!，乘积可化为

24(23!)222(21!)24(3!)22[26(23!)(21!)(3!)]2(12!). 故删去的数为12!.

４.若6m2n2(m,nN)是一个完全平方数，则所有可能的(m,n).

(2005安微省高中数学竞赛)

４.解：当m…2，n…2时，有6m2n22(36m12n11)，显然不是完全平方数.下面讨论m„1或n„1的情况.

当m0时，6m2n22n3，由于n…2时，2n33(mod4)，所以2n3不可能是完全平方数.故n0或１，此时有解(m,n)(0,0).

当m1时，6m2n22n8，由于m…4时，2n88(2n31)不可能是完全平方数，故n0，１，２，或３.易知(m,n)(1,0),(1,3).

谁的平方是2 第三篇_(-2)2的平方根是______,的算术平方根为______.

一、整体解读

试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。【谁的平方是2】

1．回归教材，注重基础

试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题目难度与区分度【谁的平方是2】

选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察

在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

谁的平方是2 第四篇_证明a平方加b平方大于等于2ab的绝对值

求证a2+b2≥2|ab|。

证明：因为a2+b2- 2|ab|=(|a|)2+(|b|)2- 2|a||b|=(|a|-|b|)2≥0，即有： a2+b2- 2|ab|≥0，方程两边同时加上2|ab|，即得：

a2+b2≥2|ab|。

谁的平方是2 第五篇_4平方根2

谁的平方是2 第六篇_园林艺术概论2

园林艺术概论（三十六）已完成 1

杜娟是一种（）。 A、酸性土植物 B、碱性土植物 C、中性土植物 D、以上都不对

正确答案： A 我的答案：B 2

沙河位于（） A、山西 B、山东 C、河北 D、河南

正确答案： C 我的答案：B 3

柠檬桉是在下列（）生长，又难以引种成功。A、福州 B、杭州 C、北京 D、沈阳

正确答案： A 我的答案：A 4

下列（）是公园绿地冬天的主要景色。 A、紫薇花 B、迎春花 C、雪松 D、合欢花

正确答案： C 我的答案：C 5

公园绿地、人行道等可以采用任何漂亮的植物、树种。

正确答案：× 我的答案：×

园林艺术概论（三十七）已完成 1

行道树的规范是几米一颗？ A、2米 B、3米 C、4米 D、5米

正确答案： D 我的答案：B 2 杭州花港观鱼的草坪面积大概有（）亩。 A、100.0 B、200.0 C、300.0 D、600.0

正确答案： C 我的答案：C 3

下列哪项不是公园规划中线状的设计？ A、园界树 B、湖岸树 C、专类景观树 D、园路树

正确答案： C 我的答案：C 4

公园的道路设计应该做到折线和曲线交叉和结合。

正确答案：√ 我的答案：√ 5

公园里必须要有密林和草坪。 正确答案：√ 我的答案：× 6

花港观鱼的面积是（）亩。 A、500.0 B、300.0 C、17600.0 D、1000.0

正确答案： B 我的答案：D

园林艺术概论（三十八）已完成 1

下列（）植物属于常绿树。 A、落叶树 B、杨树 C、柳树 D、针叶树

正确答案： D 我的答案：B 2

杭州西湖阮公墩直径大约（）米。 A、49.0 B、59.0 C、69.0 D、89.0

正确答案： A 我的答案：C

下列（）算是“垂直绿化”范畴。 A、雪松 B、紫薇花 C、梧桐 D、爬墙虎

正确答案： D 我的答案：C 4

一般而言，对老城区来说，下列不适合采用半竖种植法的树种是？ A、银杏 B、梨 C、苹果 D、梧桐

正确答案： D 我的答案：C 5

杭州西湖阮公墩上的茶室名为？ A、心源茶楼 B、青藤茶馆 C、云水居 D、茶人居

正确答案： C 我的答案：C

园林艺术概论（三十九）已完成 1

苏堤是疏通淤泥堆积而成的。 正确答案：√ 我的答案：√ 2

昆明湖在明末的时候名叫（）。 A、太湖 B、玉泉 C、西湖 D、福海

正确答案： C 我的答案：B 3

乾隆建清漪园时，建西堤代表西湖的哪一个景致？

A、三潭印月 B、阮公墩 C、苏堤 D、白堤 4

阮公墩是怎么形成的？ A、就地疏淤 B、陨石堆积 C、湖面下降 D、以上都不对

正确答案： A 我的答案：A 5

西湖中阮公墩、三潭印月、湖心亭三个岛都是湖中清理的淤泥堆积而成的。 正确答案：√ 我的答案：√

园林艺术概论（四十）已完成 1

美国越战纪念碑是（）设计的。 A、贝聿铭 B、密斯 C、林璎

D、以上都不对

正确答案： C 我的答案：B 2

丹棱沜是现在的（）。 A、圆明园 B、颐和园 C、西湖

D、承德避暑山庄

正确答案： A 我的答案：C 3

中国园林有三类，除了北方和江南，还有（）的私家园林。 A、岭南 B、贵州 C、西安 D、河南

正确答案： A 我的答案：C 4

中国园林有三类，其中江南的属于（）。 A、皇家园林 B、私家园林 C、集体园林 D、政府园林

正确答案： B 我的答案：B

下列哪项是拙政园里最有名的景点？ A、藕香榭 B、福海 C、万寿寺 D、殿春簃

正确答案： A 我的答案：B 6

颐和园是集景式的皇家园林。 正确答案：× 我的答案：√

园林艺术概论（四十一）已完成 1

画中游在颐和园的（）。 A、山脚 B、半山腰 C、山顶 D、湖心岛

正确答案： B 我的答案：D 2

屏风属于借景的一种。

正确答案：× 我的答案：√ 3

屏风是一种典型的 A、借景 B、对景 C、添景 D、障景

正确答案： D 我的答案：B 4

日本调查发现游园时走（）米休息一次。A、50.0 B、100.0 C、200.0 D、250.0

正确答案： B 我的答案：C 5

文化宣传类的现代园林不包括（） A、纪念馆 B、演讲厅 C、陈列室 D、剧院

正确答案： D 我的答案：B

园林艺术概论（四十二）已完成 1

武当山大岳太和宫是谁命名的？ A、朱棣 B、朱由校 C、朱元璋 D、朱允炆

正确答案： A 我的答案：C 2

“画中游”是（）的景色。 A、圆明园 B、故宫 C、颐和园 D、西湖

正确答案： C 我的答案：C 3

长江的最大支流是（）。 A、洛水 B、济水 C、汉水 D、黄河

正确答案： C 我的答案：C 4

（）原名“太和山”，相传为上古玄武神得道飞升之地。 A、武当山 B、峨眉山 C、泰山 D、嵩山

正确答案： A 我的答案：A 5

颐和园知春亭的跨度是？ A、5米 B、6米 C、7米 D、8米

正确答案： C 我的答案：B

园林艺术概论（四十三）已完成 1

圆明园的福海是方形水面。

正确答案：√ 我的答案： 2

下列（）是中轴对称。 A、颐和园 B、北海公园 C、故宫 D、雍和宫

正确答案： C 我的答案：C 3

万寿山大约有50米高。 正确答案：× 我的答案：× 4

视觉交叉中心就是轴心。 正确答案：× 我的答案：√ 5

下列哪项是苏军烈士墓的主景？ A、母亲的雕像 B、红军雕像 C、倒的旗 D、战友雕像

正确答案： B 我的答案：C

园林艺术概论（四十四）已完成 1

毛泽东的“人民日报”几个字中，哪个字比较大？ A、人 B、民 C、日 D、报

正确答案： A 我的答案：A 2

万春亭属于颐和园的景观。 正确答案：× 我的答案：× 3

（）是欧洲文化中心，有著名的凡尔赛宫。A、德国 B、俄国 C、法国 D、英国

正确答案： C 我的答案：C 4

三潭映月的园林艺术手法是？ A、虚实对比 B、远近对比 C、疏密对比 D、多样统一

正确答案： A 我的答案：A 5

南湖岛上的龙王庙和铜牛主要作用是? A、装饰园林

B、镇住昆明湖不发水 C、建造码头 D、方便休息

正确答案： B 我的答案：C 6

三国时期的洛阳城第一次奠定了皇家园林必须在工程中有一席之地。 正确答案：× 我的答案：√

园林艺术概论（四十五）已完成 1

园林设计的第一步是（）。 A、现场考察 B、绘制图纸 C、准备材料 D、查看预算

正确答案： A 我的答案：B 2

颐和园的陆地面积大约有3000多亩。 正确答案：× 我的答案：√ 3

福海中间有几个方形的岛？ A、一 B、二 C、三 D、四

正确答案： C 我的答案：C 4

罗布林卡湖心宫位于新疆。 正确答案：× 我的答案：√ 5

兰木殿是用什么材料建造的？ A、石料 B、砖 C、檀木

D、楠木

正确答案： D 我的答案：D

园林艺术概论（四十六）已完成 1

白沟是（）的故乡，有著名的阅微草堂。 A、纪晓岚 B、和珅 C、刘墉 D、郑板桥

正确答案： A 我的答案：D 2

上林苑包括关中九大水，十大山。 正确答案：× 我的答案：√ 3

竹子和笋石可以表示春天。 正确答案：√ 我的答案：√ 4

黄色可以表示冬天。

正确答案：× 我的答案：× 5

秦始皇居住的是宫殿是？ A、未央宫 B、阿房宫 C、兰池宫 D、坤宁宫

正确答案： C 我的答案：C

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