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下面是www.39394.com烟花美文网小编整理的1.3三角函数的诱导公式教案(3篇)，供大家参考!
一.教学目标
1.知识与技能
(1)能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
(2)能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2.过程与方法
(1)经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。
(2)通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感、态度、价值观
(1)通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。
(2)在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。
二.教学重点与难点
教学重点:探求π-a的诱导公式。π+a与-a的诱导公式在小结π-a的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。
教学难点:π+a，-a与角a终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致(与单位圆交点)的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。
所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
三角函数诱导公式 编辑词条 添加义项名
B 添加义项
?
所属类别 : 其他数学相关
所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
基本信息
·
中文名称
·
三角函数诱导公式
·
目录1基本简介
2常用公式3判断口诀
4基本关系5记忆方法
6推导过程
折叠编辑本段基本简介
所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
折叠编辑本段常用公式
折叠公式一
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin(2kπ+α)=sinα k∈z
cos(2kπ+α)=cosα k∈z
tan(2kπ+α)=tanα k∈z
cot(2kπ+α)=cotα k∈z
折叠公式二
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
折叠公式三
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
折叠公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
折叠公式五
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
折叠公式六
π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
折叠推算公式
3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
三角函数诱导公式 编辑词条 添加义项名
B 添加义项
?
所属类别 : 其他数学相关
所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
基本信息
·
中文名称
·
三角函数诱导公式
·
目录1基本简介
2常用公式3判断口诀
4基本关系5记忆方法
6推导过程
折叠编辑本段基本简介
所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
折叠编辑本段常用公式
折叠公式一
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin(2kπ+α)=sinα k∈z
cos(2kπ+α)=cosα k∈z
tan(2kπ+α)=tanα k∈z
cot(2kπ+α)=cotα k∈z
折叠公式二
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
折叠公式三
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
折叠公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
折叠公式五
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
折叠公式六
π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
折叠推算公式
3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
折叠诱导公式记忆口诀
折叠编辑本段判断口诀
“一全正;二正弦;三双切;三正切，四余弦。这十五字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都为“+”; 第二象限内只有正弦为“+”，其余全部为“-”; 第三象限内只有正切和余切为“+”，其余全部为“-”; 第四象限内只有余弦为“+”，其余全部为“-”。
“ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。
折叠编辑本段基本关系
折叠倒数的关系
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
tanα ·cotα=1
折叠商的关系
tanα=sinα/cosα=secα/cscα(cosα≠0,cscα≠0)
cotα=cosα/sinα=cscα/secα(sinα≠0,secα≠0)
折叠平方的关系
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
折叠编辑本段记忆方法
构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
倒数关系
对角线上两个函数互为倒数;
折叠商数关系
六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。)。由此，可得商数关系式。
折叠平方关系
在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
折叠两角和差公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
折叠二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]
折叠半角的正弦、余弦和正切公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
折叠万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=[2tan(α/2)]/[1-tan^2(α/2)]
折叠三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]
折叠三角函数的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2] ·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2] ·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
折叠三角函数的积化和差公式
sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
折叠编辑本段推导过程
折叠万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[(cos^2(α)+sin^2(α)]......*，
(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan^2(α)]
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
折叠三倍角公式推导
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=[2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α)]/[cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα]
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+[1-2sin^2(α)]sinα
=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)
=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=[2cos^2(α)-1]cosα-2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)-cosα+[2cosα-2cos^3(α)]
=4cos^3(α)-3cosα
即
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
折叠和差化积公式推导
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2
cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2
sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]
sinx-siny=2cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]
cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]
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