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2015年数二真题 第一篇_(2004—2015)年考研数学二历年真题!

2014年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的. 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

1

１．当x0时，若ln(12x)，则的可能取值范围是[ ](1cosx)均是比x高阶的无穷小，（A）(2,) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,) 2．下列曲线中有渐近线的是[ ]

（A）yxsinx （B）yx2sinx（C）yxsin （D）yx3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在[0,1]上[ ] （A）当f'(x)0时，f(x)g(x) （B）当f'(x)0时，f(x)g(x) （C）当f(x)0时，f(x)g(x) （D）当f(x)0时，f(x)g(x)



1

212

1x

2

1 x

xt27,

4．曲线 上对应于t1的点处的曲率半径是[ ] 2

yt4t1

（Ａ）

（Ｂ） (Ｃ） （Ｄ）5 50100

5．设函数f(x)arctanx，若f(x)xf'()，则x0

2

x2

[ ]

（Ａ）1 （Ｂ）

211

（Ｃ） （Ｄ） 323

2u

6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足0及

xy

2u2u

20，则[ ] 2

xy

（A）u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得；

（B）u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部取得；

（C）u(x,y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得； （D）u(x,y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得．

7．行列式

0aa00cc0

b0d

0b0

等于[ ]

0d

2

2

2

2

2

2

2

2

（A）(adbc)2 （B）(adbc)2 （C）adbc （D）adbc 8．设1,2,3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量1k3，2l3线性无关是向量

1,2,3线性无关的[ ]

（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件 二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分. 请将解答写在答题纸指定位置上. ．．．9．



1

1

dx 2

x2x5

10．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)2(x1),x0,2，则f(7) 11．设zz(x,y)是由方程e

2yz

xy2z

7

确定的函数，则dz|11．

,422

12．曲线L的极坐标方程为r，则L在点(r,)

为 ．



,处的切线的直角坐标方程22

2

13．一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上，若其线密度(x)x2x1，则该细棒的质

心坐标x ．

22

14．设二次型f(x1,x2,x3)x1x22ax1x34x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围

是 ．

三、解答题：15-23小题,共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程．．．

或演算步骤. 15．（本题满分10分）

求极限lim

x

x1

(t(e1)t)dt1

x2ln(1)

x

．

2

1t

16．（本题满分10分）

已知函数yy(x)满足微分方程x2y2y'1y'，且y(2)0，求y(x)的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）

xsin(x2y2)

dxdy. 设平面区域D(x,y)|1xy4,x0.y0．计算xyD



22



18．（本题满分10分）

设函数f(u)具有二阶连续导数，zf(excosy)满足

2z2z

2(4zexcosy)e2x． 2

xy

若f(0)0,f'(0)0，求f(u)的表达式． 19．（本题满分10分）

设函数f(x),g(x)在区间a.b上连续，且f(x)单调增加，0g(x)1，证明： （1）0（2）



b

x

a

g(t)dtxa,xa,b；



a

ag(t)dt

a

f(x)dxf(x)g(x)dx．

a

b

20．（本题满分11分）

设函数f(x)

x

,x0,1，定义函数列 1x

f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x))，,fn(x)f(fn1(x)),

记Sn是曲线yfn(x)，直线x1及x轴所围平面图形的面积．求极限limnSn．

n

21．（本题满分11分）

已知函数f(x,y)满足

f

2(y1)，且f(y,y)(y1)2(2y)lny，求曲线y

f(x,y)0所围成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积．

22．（本题满分11分）

1234

设A0111，E为三阶单位矩阵．

1203

（1）求方程组AX0的一个基础解系；

（2）求满足ABE的所有矩阵． 23．（本题满分11分）

1

1证明n阶矩阵1

1



11

110与01001

02



相似． 0n



2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的. 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．１．设cosx1xsin(x),(x)



2

，当x0时，x是[ ]

（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价无穷小 （D）与x等价无穷小

2．已知yfx是由方程cosxylnyx=1确定，则limnf1[ ]

n

2

n



（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 ３．设f(x)

xsinx,x[0,)

，F(x)f(t)dt则[ ]

2,x[,2]

（A）x为函数F(x)的跳跃间断点． （B）x为函数F(x)的可去间断点． （C）F(x)在x连续但不可导． （D）F(x)在x处可导．

1

,1xe(x1)1

４．设函数f(x)，且反常积分f(x)dx收敛，则[ ]

1

1,xexln1x

（A）2 （B）a2 （C）2a0 （D）02 ５．设函数z

yxzzfxy，其中函数f可微，则[ ] xyxy

22

f(xy) （D）f(xy) xx

6．设Dk是圆域D(x,y)|x2y21的第k象限的部分，记Ik(yx)dxdy（k=1,2,3,4），

（A）2yf'(xy) （B）2yf'(xy)（C）



Dk

则[ ]

（A）I10 （B）I20 （C）I30 （D）I40 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则[ ] （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．

2015年数二真题 第二篇_2015年高考理科数学新课标全国Ⅱ卷试题及答案

2015高考理科数学新课标全国Ⅱ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

（1） 已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=

（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝

（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2

（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是

（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现

（C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）等比数列｛an｝满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =

（A）21 （B）42 （C）63 （D）

84

（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图， （7）则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为

（A）

1111

（B） （C） （D） 8765

（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,7）的圆交于y轴于M、N两点，则MN=

（A）26 （B）8 （C）46 （D）10

（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的

a=

A.0 B.2 C.4 D.14

（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36π B.64π C.144π D.256π

10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为

（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， ∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 （A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2

二、填空题

三．解答题

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

记时间C：互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率 19．（12分）

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F。过带你E，F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形【2015年数二真题】

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求直线AF与平面a所成角的正弦值

20. 已知椭圆C：错误！未找到引用源。，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l过点（错误！未找到引用源。）,延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由. 21.设函数f(x)=emx+x2-mx.

(Ⅰ)证明：f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （Ⅱ）若对于任意x 1, x2∈[-1,1],都有｜f(x1)- f(x2)｜≤e-1,求m的取值范围

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。 （22） （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点. （1）证明：EF平行于BC

（2）（2）若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

2015年数二真题 第三篇_2015年高考真题全国二卷数学详细解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）

（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝

（

（

（（（C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．

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（4）等比数列｛an｝满足a1=3，a1a3a5 =21，则a3a5a7 ( )

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84 【答案】

B

（

【以

ff(（【解析】由三视图得，在正方体ABCDA1B1C1D1中，截去四面体AA1B1D1，如图所示，，

1131315

aa，故剩余几何体体积为a3a3a3，所32666

1

以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．

5

设正方体棱长为a，则VAA1B1D1

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（

（

A.0 B.2 C.4 D.14

【答案】B

【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为a14，b18；b4；a10；a6；a2；b2，此时ab2程序结束，输出a的值为2，故选B．

（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36π B.64π C.144π D.256π

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【答案】C

【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVCAOB1121

RRR336，故R6，则球O的326

表面积为

S4R2144，故选C．

C

O

A

B

10.如图，长方形ABCD的边AB=2，P沿着边BC，CD与DA运动，

记∠BOP=x．将动点P到A、Bx的函数f（x）

，则f（

x）的图像大致为

【答案】B

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B．

（（

（12）设函数f’(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f（-1）=0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是 （A）（C）【答案】A

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'

（B） （D）

2015年数二真题 第四篇_2015考研数学二历年真题(2003年—2014年)

2014年考研数学二真题与解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1

１．当x0时，若ln(12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围



是（ ）

（A）(2,) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,)

1

1212

【详解】ln(12x)~2x，是阶无穷小，(1cosx)~

1

1

2

x是

2

2



阶无穷小，由题意

1可知2

1

所以的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）． 2．下列曲线有渐近线的是

2

（A）yxsinx （B）yxsinx（C）yxsin （D）yx1x

2

1 x

【详解】对于yxsin

1y1

，可知1且lim(yx)lim0，所以有斜渐近线

xxxxxx

yx

应该选（C）

3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在[0,1]上（ ）

（A）当f'(x)0时，f(x)g(x) （B）当f'(x)0时，f(x)g(x) （C）当f(x)0时，f(x)g(x) （D）当f(x)0时，f(x)g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然

1

g(x)f(0)(1x)f(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程．故当f(x)0时，

曲线是凹的，也就是f(x)g(x)，应该选（D）

【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令

F(x)f(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f(1)x，则F(0)F(1)0，且F"(x)f"(x)，故当f(x)0时，曲线是凹的，从而F(x)F(0)F(1)0，即F(x)f(x)g(x)0，也就是f(x)g(x)，应该选（D）

xt27,

4．曲线 上对应于t1的点处的曲率半径是（ ） 2

yt4t1

（Ａ）

（Ｂ） (Ｃ） （Ｄ）5 50100

y"(1y'2)3

2

【详解】 曲线在点(x,f(x))处的曲率公式K，曲率半径R

1

． K

22dxdydy2t42dy12t,2t4，所以1，2本题中3，

dtdtdx2tt2tdxt



对应于t1的点处y'3,y"1，所以K

y"(1y')

2

3



1，曲率半径

R

1

10． K

应该选（C）

5．设函数f(x)arctanx，若f(x)xf'()，则x0

2

x

2

（ ）

（Ａ）1 （Ｂ）

211 （Ｃ） （Ｄ） 323

【详解】注意（1）f'(x)

1133

x0时,arctanxxxo(x)． ，（2）2

31x

2

由于f(x)xf'()．所以可知f'()

1f(x)arctanxxarctanx2

，， 22

xx1(arctanx)13

x)o(x3)

1． 3

3x

x0

2

x2

x0

xarxtanx

2x0x(arctanx)

x(x

2u

6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足0

xy2u2u及． 20，则（ ）2

xy

（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域D上连续，所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值．并

且如果在内部存在驻点(x0,y0)，也就是

uu

0，在这个点处xy

2u2u2u2u2

，由条件，显然ACB0，显然u(x,y)不是极值点，A2,C2,B

xyyxxy

当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上． 所以应该选（A）．

a

7．行列式

0cab000b

等于

cd000d

2

2

2

2

2

2

2

2

22

（A）(adbc) （B）(adbc) （C）adbc （D）adbc

3

【详解】

0a0cab0

a0ba0b

00babab

a0d0b0c0adbc(adbc)2

cd0cdcd

c0dc0d

00d

应该选（B）．

8．设1,2,3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量1k3，2l3线性无关是向量

1,2,3线性无关的

（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解】若向量1,2,3线性无关，则

10

（1k3，2l3）(1,2,3)01(1,2,3)K，对任意的常数k,l，矩阵K的

kl

秩都等于2，所以向量1k3，2l3一定线性无关．

100



而当10,21,30时，对任意的常数k,l，向量1k3，2l3线性无关，

000

但1,2,3线性相关；故选择（A）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．



1

1

dx

x22x5

11dx1x11

dx|x22x5(x1)24221

【详解】

13

． ()

2428

4

10．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)2(x1),x0,2，则

f(7)

【详解】当x0,2时，f(x)



2(x1)dxx22xC，由f(0)0可知C0，即

f(x)x22x；f(x)为周期为4奇函数，故f(7)f(1)f(1)1．

11．设zz(x,y)是由方程e

2yz

xy2z

7

确定的函数，则dz|11．

,422

【详解】设F(x,y,z)e

2yz

7

xy2z，Fx1,Fy2ze2yz2y,Fz2ye2yz1，当

4

FyFx111z1z1

xy时，z0， ，，所以dz|11dxdy．

,222xFz2yFz222

12．曲线L的极坐标方程为r，则L在点(r,)



,处的切线方程为22

xr()coscos

【详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，x0,y，

22yr()sinsindysincos2

，则L在点(r,),处的切线方程为||

dx2cossin222

y



2



2



(x0)，即y

2



本文来源：http://www.gbppp.com/jy/433094/

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