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归纳与总结二次函数图像(一)：二次函数图像与性质总结(含答案)

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax2的性质：

2. yax2c的性质： 上加下减。

3. yaxh的性质：

左加右减。

2

4. yaxhk的性质：

2

二、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h， k；⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴yax2bxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成

yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yaxbxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成

2

2

ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

三、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配b4acb2b4acb2

方可以得到前者，即yax，其中h，． k

2a4a2a4a

2

2

2

四、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定

其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们

c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，

0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与x轴的交点x1，

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

五、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b

1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为．

2a4a2a

当x

bbb

时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x2a2a2a

4acb2

时，y有最小值．

4a【归纳与总结二次函数图像】

b4acb2b

2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为．当【归纳与总结二次函数图像】

2a4a2a

x

bbb

时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y2a2a2a

4acb2

有最大值．

4a

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；

2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，

b

0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2a

b

0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

b

0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a

⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，当b0时，当b0时，

b

0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2a

b

0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

b

0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴x

b

在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，2a

概括的说就是“左同右异” 总结：

3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

八、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

ya2xbx关于cx轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

2. 关于y轴对称

xbx关于cy轴对称后，得到的解析式是yax2bxc； ya2

22

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22

3. 关于原点对称

ya2xbx关于原点对称后，得到的解析式是cyax2bxc； yaxh关于原点对称后，得到的解析式是kyaxhk； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2

2

b2 yaxbx关于顶点对称后，得到的解析式是cyaxbxc；

2a

2

2

yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

5. 关于点m，n对称

n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk yaxhk关于点m，

2

2

22

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数图像参考：

2

y=3(x+4)2

y=3x

2

2

2-3

十一、

y=-2x2

y=-2(x-3)2

归纳与总结二次函数图像(二)：二次函数图象和性质知识点总结

二次函数的图象和性质知识点总结

一、知识点回顾

1. 二次函数解析式的几种形式：

2

yaxbxc（a、b、c为常数，a≠0） ①一般式：

2ya(xh)k（a、h、k为常数，a≠0）②顶点式：，其中（h，k）为顶点坐

标。

③交点式：ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标，即

2

一元二次方程axbxc0的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。

2

yaxbxc的图象 2. 二次函数

2yaxbxc的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，①二次函数

几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）

完全相同，只是位置不同。

22

ya(xh)ky

ax②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动

规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

22

yaxbxcya(xh)k的形式，然后③在画的图象时，可以先配方成2

将yax的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点22

yaxbxcya(xh)k的形式，这样可以确定开口方法：也是将配成

向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴

对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），

（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法

22

yaxbxcya(xh)k的形式，顶点坐标为①配方法：将解析式化为

yk

（h，k），对称轴为直线xh，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，最小值；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，

y最大值k

。

b4acb2

，2a4a）②公式法：直接利用顶点坐标公式（，求其顶点；对称轴是直b4acb2b

xa0，y有最小值，当x时，y最小值；

2a，若2a4a线若a0，b4acb2

x时，y最大值

2a4ay有最大值，当

5. 抛物线与x轴交点情况：

2

yaxbxc(a≠0) 对于抛物线

2

①当b4ac0时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。

2

②当b4ac0时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为

顶点。

2

③当b4ac0时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。

二、考点归纳

考点一求二次函数的解析式

例1.已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最

大值是8，试求f（x

）。

解答：

法一：利用二次函数的一般式方程 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题意

故得f（x）＝－4x2＋4x＋7。 法二：利用二次函数的顶点式方程 设f（x）＝a（x－m）2＋n

由f（2）＝f（－1）可知其对称轴方程为又由f（x）的最大值是8可知，a<0且n＝8； 由f（2）＝－1可解得a＝－4。 故

。

，故m＝

；

法三：利用二次函数的零点式方程

由f（2）＝－1，f（－1）＝－1可知f（x）＝－1的两根为2和－1，故可设F（x）＝f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）。又由f（x）的最大值是8可知F（x）的最大值是9，从而解得a＝－4或0（舍）。

2

所以f（x）＝－4x＋4x＋7。

说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。

考点二二次函数的图像变换

例2.（2008年浙江卷）已知t为常数，函数

在区间[0，3]上的【归纳与总结二次函数图像】

最大值为2，则t＝。

解答：作出的图像，I、若所有点都在x轴上方，则ymax＝f（3）＝2可解得t＝1；II、若图像有部分在x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方即可得到

的图像，则ymax＝f（1）或ymax＝f（3），解

得t＝－3或t＝1，经检验，t＝1。综上所述，t＝1。

考点三二次函数的图像的应用

例3.已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞]上是增函数，则f（1）的范围是（）

A. f（1）≥25 B. f（1）＝25 C. f（1）≤25 D. f（1）>25

解答：函数f（x）＝4x2

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