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函数的单调性教学与反思
一．教学目的
1.理解函数的单调性，能判断和证明函数在给定的区间上的单调性； 2.体会从特殊到一般，简单到复杂，具体到抽象的研究学习方法； 3.渗透数形结合的数学思想. 二．教学重点、难点 重点：函数单调性的定义
难点：函数增减的数学符号语言表述，函数单调性的定义证明
通过观察一次、二次函数图像的升（降），形成增（减）直观的认识，比较具体函数图像升降与函数值的大小变化，认识函数值随自变量增大而增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数的定义，从而突出了重点，再通过例2的讲解，归纳出用定义证明单调性的一般步骤，进而，突破了难点 三．教法学法分析 1、教法分析
遵循“教师的主导作用与学生的主体地位相统一的教学规律”，本节课采用引导发现式的教学法，并充分利用多媒体辅助教学。通过教师在教学过程中点拨，启发学生主动观察、思考、对手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。 2、学法分析
本节课所面对的是高一年级学生，这个时期的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待老师指导，本节课从学生原有的知识和能力出发，教师带领学生创设疑问，通过合作交流、共同探索来寻求解决问题的方法。 四．教学基本流程
从观察具体函数图象引入新课 —》初步探索、概念形成—》概念深
化、延伸拓展—》证法探究、应用定义—》学生小结、教师评价 五．教学过程 1.问题提出、引入新课
画出下列函数的图象，观察其变化规律：（学生动手）
请作出函数f(x) = x和f(x) = x2的图象，观察其变化规律？ 并观察自变量变化时，函数值的变化规律．
（学生先自己观察，然后通过多媒体----几何画板形象观察）
学生回答教师归纳:从上面的观察分析可以看出：不同的函数图像变化趋势不同，同一函数在不同的区间上是变化趋势也不同。函数图像的变化规律是函数性质的反映。这教师我们今天研究的函数的一个性质—单调性（引出课题） 2.新课讲解
先从二次函数f(x) = x2研究
从二次函数f(x) = x2图像可以看出
图象在y轴左侧“下降”；图象在y轴右侧“上升”。 由二次函数f(x) = x2列出x,y的对应值表
对比图象和表格我们可以发现：在y轴左侧“下降”，也就是，在区间(,0]上，随着x的增大，相应的f（x）反而减小；图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间(0,)上，随着x的增大，相应的f（x）也随着增大。
思考：如何利用数学符号语言描述“y随x的增大而增大”和“y随x的增大而减小”？
（学生思考、交流探讨，指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识过渡到数学符号表述） 3.先对具体函数下单调性的定义
函数f（x）＝x2，对于x∈（0，∞）上的任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），我们说函数f（x）＝x2在（0，∞）上是增函数。对于x∈（－∞，0）上的任意x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），我们说函数f（x）＝x2在（0，∞）上是减函数。
4.给出增（减）函数的定义：
通过上面二次函数讲解我们推广到一般的结论
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2
时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．
（类比增函数定义同学们给出减函数的定义） 注意：
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ． 函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 六.例题讲解
1．例1、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数出数。
的单调区间，以及在每一单调区间上，函数
的图象，根据图象说
是增函数还减函
巩固练习：课本P32练习第1、2题 2．例2：物理学中的玻意尔定律p=
的气体，当体积v减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
k（k为常数）告诉我们，对于一定量
v
分析 怎样来证明“体积V减小，压强p将增大”呢，根据函数单调性的定义，只要证
明函数p＝
kk
（（k是正常数）是减函数．怎样证明函数p＝（（k是正常数）是减函数VV
呢，只要在区间（0，＋∞）（因为体积V＞0）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值
对应的函数值较大，即
设V1＜V2，去证明p1＞p2．也就是只要证明p1－p2＞0． 证明 设V1＜V2，V1，V2∈（0，+∞）． p1－p2＝
kkk(VV)
－＝．
V1V2V1V2
k(V2V1)
＞0，p1＞p2．
V1V2
因为k是正常数，V1＜V2，所以
所以，体积V减小，压强p将增大．
教师把重心放在思路的分析上，而让学生进行具体的证明．
巩固练习：课本P32练习第3题；【函数的单调性教学反思】
说明：这两道例题介绍了
（1）判断函数单调性的两种方法：根据图像观察,根据定义证明 （2）证明函数单调性的步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差f(x1)－f(x2)； ○
3 变形（通常是因式分解和配方）○； 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）○；
5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○． 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论（学生讨论得出） 思考：画出反比例函数y
1
的图象． x
1 这个函数的定义域是什么？ ○【函数的单调性教学反思】
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论． ○
说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象． （学生板书解题过程）
七、课堂小结，知识梳理 （师生共同完成）
1、知识方面
（1）增、减函数的定义。
（2）函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。
2、能力方面
（1）函数单调性的判断方法：利用图象观察；利用定义证明：
（2）函数单调性证明的步骤：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
3、方法，数学思想
特殊到一般的思想；具体到抽象，数形结合思想 八、作业布置
课本P45 习题1．3（A组） 第1- 5题.
反思
函数的单调性是函数非常重要的性质，在初中学习函数时，对这个问题已经有了初步的探究，当时研究比较粗浅，没有明确的定义。函数的单调性从图像的角度看，简单，清楚，直观容易理解。因此，这节课的设计是从熟悉的简单的具体的一次函数，二次函数入手，让每个学生通过图像体会图像的变化情况，并用普通语言描述。通过动画演示，让学生观察两个点在运动的过程中横、纵坐标之间的关系，并用抽象的数学符号语言来刻画，即当 x1<x2时，都有f（ x1）<f（x2）或即当 x1<x2时，都有f（ x1）>f（x2），给出增函数的定义，再通过类比给出减函数的定义，并对函数单调性作深入的讨论。最后通过两个例题的讲解加强学生对概念的理解。例1让学生明白函数的单调性是在定义域的子区间上的性质，由例2归纳出用定义法证明函数单调性的一般步骤，从而突破难点。
本节课是学生在教师的指导下的逐步探索过程。在探索过程中，让学生通
对“函数的单调性”教学设计的改进和反思
215008 苏州市第五中学 罗强
高中数学新课程中，函数单调性的起始教学被安排在第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》“ 2.1.3函数简单性质”中，本文所研究的是“函数的单调性”的第一课时．
一、函数的单调性的教学聚集了数学教学的诸多矛盾
从高中数学知识体系的角度，函数单调性是高中阶段刻画函数“变化”的一个最基本的性质，函数单调性的学习和运用将贯穿在高中代数课程的始终，在教学要求上体现出螺旋上升的特征．高中数学课程中对于函数单调性的研究可以分为两个阶段：第一阶段，用运算的性质研究单调性，知其变化趋势；第二阶段，用导数的性质研究单调性，知其变化快慢．高一对函数单调性的学习处于第一个阶段，需要教师把握好教学要求，稳步推进，不能急于求成，超越阶段．
从学生学习的角度，函数的单调性是学生学习了函数概念后研究的函数的第一个性质，也是学生进入高中阶段后接触的第一个用数学符号语言刻画的数学概念，它的学习对学生来说具有一定的挑战性．同时，函数单调性的研究过程具有较好的示范性，可以为学生进一步学习函数的其他性质提供方法范例，对学生提升数学认识具有引领作用．由于函数单调性的学习既有重要价值，又有一定的难度，因此，在教学设计中，就需要教师在把握学生学情的基础上体现数学本质，有效突破教学难点．
从教师教学的角度，“函数的单调性”第一课时既是一节较为抽象的数学概念课，也是一节数学方法课，同时也包含着数学认知策略的教学．教师既需要从数学学科体系的宏观角度进行整体把握，也要从教材编排的中观角度进行单元设计，还要从教学方法的微观角度进行具体的课堂教学设计．可以说，“函数的单调性”这一课时聚集了数学教学的诸多矛盾，它的教学设计和教学过程对每个数学教师都是一个挑战，教师在教学中设定怎样的教学目标，选择怎样的教学策略，设计怎样的问题情境和问题链，可以充分反映教师在数学教学上的关注点，体现教师的教学能力和教学智慧．
二、分析一个职初教师的教学设计
下面给出一位职初教师对“函数的单调性（第一课时）”的教学设计．从这份教学设计看，这位青年教师已掌握教学设计的基本要求，按照这样的教学设计实施教学，基本上可以比较顺利的完成教学任务．但是，细细剖析这份教学设计，还是可以发现一些值得探讨的问题．
【教学目标】
1. 知识与技能：理解单调函数、单调区间的概念，并能根据函数的图象指出单调性、
写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性．
2. 过程与方法：通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，同时对学生进行辩证
唯物主义的教育．
3. 情感、态度与价值观：培养学生分析综合能力，理性描述生活中的增长、递减现象． 点评：教学目标是一堂课的灵魂和统帅，明确教学目标是教学设计的第一个环节．本节课设定的教学目标中，知识与技能目标定位比较恰当，但从后面实际的教学设计看，教师对一些定位教学目标的关键词，如“理解”、“简单”等并没有很好的理解，也没有很好地贯彻，制定教学目标这个过程成了无用的文字摆设．同时，过程与方法目标，情感、态度与价值观目标显得空洞无物，存在套用新课程理念，把三维目标当作标签来贴的问题．
【重点难点】
1. 教学重点：掌握函数的单调性的概念；
2. 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性．
点评：本节课的教学重点、难点的设定不够准确，缺乏对教学要求的细致分析，缺乏对学生学情的准确把握，比较随意．我觉得本节课的第一个教学重点是理解函数单调性的概念，第二个教学重点是运用函数单调性的定义进行函数单调性严格的推理论证并完成规范的书面表达．函数单调性的定义是一个符号化特征很强的数学概念，这样的概念高一学生是第一次接触，如何让学生理解这种符号化的、抽象的数学语言，参与函数单调性概念的符号化过程是本节课的第一个难点．同时，由于学生第一次接触到代数证明，如何运用函数单调性的定义严格证明函数的单调性并完成规范的书面表达则是本节课的另一难点．
【教学过程】
（一）情境引入
引例1．给出春兰股份某日股价的走势图，观察股价的增减变化．
引例2．右图是某市一天24小时内的气温变化图．气
温θ是关于时间t的函数，记为θ＝f(t)，观察这个气
温变化图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下
降的？让学生回答气温的变化情况（只要初步描述）．
进一步引导：那么我们用怎样的数学语言来刻画上
述时间段内“随着时间的增大气温逐渐升高或减小”这
一特征呢？
点评：函数单调性是函数性质中的一个重要概念，教师需要创设恰当的情境让学生体会函数单调性概念产生的必要性和价值，并引领后续的教学．但本教学设计在创设情境时重视了情境的生动性而忽视了情境的数学性，存在为情境而情境的不足．引例1的股价走势图可以反映股价的变化，但与高中数学所研究的函数单调性严格来讲有一定的不同，且股价走势情境包含学生所不具备的一些股市专业知识，作为本节课的教学情境不妥．此外，本节课选用两个情境也显多余．
（二）讲授新知
出示课题： 2.1.3 函数的简单性质 1.函数的单调性．
上述描述中的在某个区间内y随x的增大而增大（减小）在数学中我们就称为此函数在这个区间内是增函数（减函数）．
如何来用数学语言来描述？
反思一：一次函数的应用教学反思
本节课的设计，力求体现新课程改革的理念，结合学生自主探究的时间，为学生营造宽松、和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养学生的探索能力和创新能力，激发学生学习的积极性。在学生选择解决问题的诸多方法的过程中，不过多地干涉学生的思维，而是通过引导学生自己去探究来选择解决问题的办法。
本节课也存在一些应该深刻的反思和改进的地方。例如在探究活动中有些问题处理的有些仓促，有些问题的指向性有些太明确，需要今后加强。另外，今后教学中还应该更多地关注学生的发展和提升。多用幽默和鼓励性的语言激励学生。
总之，本节课着力做到课堂是数学活动的场所，是师生共同成长的基地，是学生张扬自我舞台。
反思二：一次函数的应用教学反思
本节课通过提出问题，创设情境来提高学生的学习兴趣，然后通过教师和学生的双边活动让学生掌握一次函数的应用，并拓展到决策性问题的探究，以锻炼学生的探究归纳能力。 教师帮助学生建立近似人口增长的一次函数，并说明这种模糊方法在数学中的应用，让其逐步领略数学应用的奥妙所在．学生经过建立坐标系、描点、连线，熟悉函数作图的一般过程，并在教师指导下确立近似一次函数的解析式，提高预估能力．
这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到一次函数的性质。花费了一番周折，说明去掉这个中介，直接让学生从单调性来接受一次函数性质是困难的。要想让学生真正理解和掌握一次函数的性质就必须放手让学生进行探究 ，让学生在探究中获得感性认识，同时只有放手让学生自我探究，潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。
在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。要实现此目的 ：首先，要设计适合学生探究的素材。教材对一次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。如果牵强的引出来，不一定是好事。其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。
最后，教师在学生探究真知之旅上应是一个促进者、协作者、组织者。要做善于点燃学生探究欲望和智慧火花的人，要善于让学生说教师要说的话，做教师想做的事，这就是一个成功的促进者。数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程。真正的知识不全是由教材和教师讲授的途径获取的，其实学生也是课程资源的开发者，如本课例中的“走向”问题，“同向变化”等，这为函数性质的得出做了很好的铺垫。要彻底抛弃“唯书论”“唯师论”，与学生一起去探究协作，寻觅适合学生自己的真知才是最有效的教学。要开展成功的探究，教师要科学设置问题情景或问题素材，使探究的问题具有层次性和探究性，适时、适势、适度地用教学机智调控课堂。在教学设计中，要预设多种意外和可能，这样探究真知的过程虽然会艰辛但展开顺利，这才是一个成功的组织者。
但是，本节课也难免有许多不足之处，我本人认为：我关注学生还是不够, 尤其对学生的反馈不能作到有效的和准确的指导和引导；讲的还是有点多，老不敢放手让学生自己去经历独学、对学和小组学习的过程，给学生思考和活动的时间和机会还是较少有的学生看似听课，其实思维根本就没有参与进来，从而影响了课堂效益的最大化。
我会继续努力，不断改进，是自己的课堂更加精彩！
反思三：一次函数的应用教学反思
本节的主要内容是让学生逐步形成用函数的观点处理问题意识，体验数形结合的思想方法。
教学时，能够达到三维目标的要求，突出重点把握难点。能够让学生经历数学知识的应用过程，关注对问题的分析过程，让学生自己利用已经具备的知识分析实例。用函数的观点处理实际问题的关键在于分
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