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三角函数的主要内容 第一篇_三角函数是中学数学重要内容

三角函数是高中数学教学内容的一个重要部分,此内容既有先前函数知识的延伸,又有三角知识的扩展,无论是教师的教,还是学生的学,都有难度。不同的数学教材对三角函数的概念有不同的描述和要求,有的使用终边定义法,有的使用单位圆定义法,这种差异已经在教师中产生一些争论,那么这种差异会对学生的学习产生什么影响呢,是我们需要研究的问题。基于以上现实,本文主要阐述的研究问题是：(1)学生是怎样理解三角函数的,学生能否运用他们对三角函数的理解来解释三角函数的性质；(2)用单位圆定义三角函数,是否更有助于学生对三角函数的理解；(3)学生对三角函数的理解与历史上数学家对三角函数的理解是否具有历史相似性；(4)学生在解决三角函数问题时会出现哪些类型的错误。本研究分别以浙江台州中学和青浦高级中学的高一和高三学生共238人为样本,采用测试法和访谈法进行调查研究。研究发现：(1)学生普遍不理解三角函数的概念,不清楚三角函数的对应关系,但是学生能够利用三角函数的图像解决一些简单问题,得到三角函数的某些性质。(2)单位圆定义法更有助于学生对三角函数概念的理解。(3)学生对三角函数概念的认识与历史上数学家对此的认识不具有历史相似性。(4)学生对三角函数概念理解方面的错误归纳为八个类型,对三角函数性质理解方面的错误归纳为八个类型,对三角函数线理解的错误主要有四个类型。(5)不同学校和年级的学生对三角函数概念的理解差异明显。

摘要

三角函数是高中数学教学内容的一个重要部分，此内容既有先前函数知识的

延伸，又有三角知识的扩展，无论是教师的教，还是学生的学，都有难度。不同

的数学教材对三角函数的概念有不同的描述和要求，有的使用终边定义法，有的

使用单位圆定义法，这种差异已经在教师中产生一些争论，那么这种差异会对学

生的学习产生什么影响呢，是我们需要研究的问题。

基于以上现实，本文主要阐述的研究问题是:(1)学生是怎样理解三角函数

的，学生能否运用他们对三角函数的理解来解释三角函数的性质;(2)用单位圆

定义三角函数，是否更有助于学生对三角函数的理解;(3)学生对三角函数的理

解与历史上数学家对三角函数的理解是否具有历史相似性;(4)学生在解决三角

函数问题时会出现哪些类型的错误。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与 一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定 义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中。本文叙述了任意角的概念、任意角的三 角函数概念以及同角三角函数的基本关系式、正弦和余弦的诱导公式

三角函数是中学数学重要内容之一.但是由于内容繁杂,公式多且性质灵活,在解题中如何把握好

变换的方向,有目的地进行三角恒等变换是学好三角的关键.解题时稍有不慎,就会忽视题中的隐含条

件导致错解.本文列举几种常见的情况,以提高学生分析问题和解决问题的能力.

本研究分别以浙江台州中学和青浦高级中学的高一和高三学生共238人为

样本，采用测试法和访谈法进行调查研究。

研究发现:

(1)学生普遍不理解三角函数的概念，不清楚三角函数的对应关系，但是学

生能够利用三角函数的图像解决一些简单问题，得到三角函数的某些性质。

(2)单位圆定义法更有助于学生对三角函数概念的理解。

(3)学生对三角函数概念的认识与历史上数学家对此的认识不具有历史相

似性。

(4)学生对三角函数概念理解方面的错误归纳为八个类型，对三角函数性质

理解方面的错误归纳为八个类型，对三角函数线理解的错误主要有四个类型。

(5)不同学校和年级的学生对三角函数概念的理解差异明显。

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的负迁移的影响，学生总是喜欢用直角三角形来解决问题。(4)容易忽略任意角 的特点及三角函数的符号，不考虑三角函数周期性的性质。(5)学生比较重视三 角函数的图像，却忽略了三角函数本身的性质，不理解三角函数的本质。 学生能够利用三角函数的图像解决一些简单问题，得到三角函数的某些性

质。比如，学生可以通过画图像得到三角函数的单调区间，可以通过图像得到对 应的角及角的范围或是确定角的终边位置。

5.1.2单位团定义法更有助于学生对三场备数机含的理哪

通过本研究，可以看到，台州中学学生对三角函数的理解明显好于青浦高级 中学学生。尤其是台州高三学生对单位圆的应用非常熟练，对三角函数的理解比 较全面，相比之下，青浦高级中学高三学生对三角函数的理解就大相径庭了。比 如从测试题各题的得分率上来看，除了第4、6、7题台州高一学生的得分率最低 外，其他题目台州中学学生的得分率都高于青浦高级中学。

测试题中凡是能用单位圆及三角函数线解决的题目，台州中学学生应用的比 例都比青浦高级中学学生高出很多，而且台州中学学生的准确率也较高。相反， 但凡能用“终边定义法”解决的题目，青浦高级中学学生应用的比例不但没有明 显高于台州中学，甚至低于台州中学学生。这更说明“单位圆定义法”更有助于 学生对三角函数的理解。

可见，学生从“单位圆定义法”开始学习三角函数，并比较系统地学习三角 函数线，把单位圆与三角函数密切联系起来，贯穿于三角函数学习过程的始终， 这样的学习过程对学生更好地理解三角函数有决定性的帮助。另外，台州高三学 生应用单位圆及三角函数线的情况好于高一学生，这说明“单位圆定义法”及三

角函数线对学生的影响是比较深入的，学生不容易忘记。而且随着时间的推移， 学生能够把单位圆和三角函数看作一个整体，提到单位圆就能想到三角函数，提 到三角函数就能想到单位圆，学生应用单位圆的程度更高。在学习三角函数的过 程中，引入“单位圆定义法”，充分重视三角函数线的教学，对学生理解三角函 数有更好的促进作用。

虽然台州中学学生与青浦高级中学学生相比，应用单位圆及三角函数线的比 解题过程中用单位圆解决问题的能力还是有一定的

局限性。不得不承认，学生对单位圆及三角函数线的掌握还是有一定的难度的， 正如访谈中有些教师所担心的，学生要想把单位圆及三角函数线学好是需要花很 多时间和精力的。但是，从测试效果看，为了学生更好地理解三角函数，在单位 圆和三角函数线这里多花些时间和精力是值得的，可以起到事半功倍的作用。

5.1.3学生对三角备数的认识不兵有厉史相似性

在现实教学环境下，学生虽然知道三角函数线，但是学生并不认为三角函数 是线。无论是在“单位圆定义法”还是在“终边定义法”的教学方式下，绝大多 数学生认为三角函数是比值，不是线段。甚至有学生感觉这个问题有错误，“三 角函数怎么会是线段呢?从来没有这种说法嘛!”

可见，学生对三角函数的认识与历史上数学家对三角函数的认识不具有历史 相似性。

5.1.4学生在解决三活击救问翅时出现的错误类型

学生在解决三角函数的相关问题时，会出现很多类型的错误，归纳如下: 学生在三角函数概念的理解上主要有八类错误:

(l)三角函数表达式错误;

(2)三角函数的自变量和因变量颠倒;

(3)用余弦定理、同角的平方关系等公式代替三角函数的定义;

(4)对角的认识有局限;

(5)把正弦和余弦函数混淆;

(6)忽略三角比的符号;

(7)混淆了终边定义法和单位圆定义法;

(8)记错了终边定义法的公式。

学生在三角函数性质的理解上主要有八类错误:

(l)对性质尤其是单调性认识不清;

(2)死记硬背的机械记忆，不辨别条件的变化;

(3)不清楚弧度的意义;

64

性;

(5)将正弦、余弦、正切函数的周期混淆一记错;

(6)解决正切函数时，漏解情况突出;

(7)不能准确画出三角函数的图像;

(8)记不住特殊角的三角比的值。

学生在三角函数线的理解上主要有四类错误:

(l)对三角函数线的方向判断模糊;(2)对三角函数线的认识有局限;(3)不

会恰当的应用三角函数线来解决问题;(4)不能准确判断三角函数线的位置。

5.1.5不同学枚及年毅的学生对三角西获机杏的理解有显著性差井

台州中学学生和青浦高中学生总得分的平均值存在显著性差异。台州中学

学生对三角函数概念的理解比青浦高级中学学生更好。

台州中学的高一学生和高三学生总得分的平均值存在显著性差异。台州高 三学生的学习情况明显好于高一学生。

5.2教学启示

5.2.1教学过程中应注重初高中三角西数机含之间的关系

对于三角函数概念的教学，首先要明确函数的对应关系，强调三角函数既有

函数的共性，又有三角函数的特性。让学生理解并明确三角函数的自变量与函数_ 的对应关系。在讲三角函数时，教师要注意到三角函数本身是函数，就可以从函 数的几个维度去考虑，比如定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等。虽然它有 那么多特别的地方，但它始终是可以从函数的角度去分析的。其次，三角函数具 有其他函数所没有的特点:周期性。教师如何让学生对周期性有充分的认识，还 要回到任意角的概念、单位圆、任意角的三角比等方面，使学生真正明白三角函 数与众不同。此外，要做好讲三角函数的准备工作，在此之前的弧度制要讲透， 让学生明确弧度的意义，为三角函数的教学扫除障碍。

学生对三角函数的认识多半停留在初中阶段，很多学生习惯在直角三角形中 考虑问题，这对三角函数的学习有很大的负迁移的作用，教师在教学过程中，要 65

5.1研究结论

根据前面的统计和分析，我们得到如下结论。

5.1.1学生香连不理解三角备毅棍含

从学生对余弦函数的认识可以看出，学生普遍不理解三角函数的概念。学生 不清楚三角函数的对应关系，搞不清楚自变量和函数。学生对角的理解有困难， 对角度制和弧度制的理解不准确，从而导致学生对三角函数自变量的理解的偏 差。

从初中到高中，学生学过的三角函数概念有三种:锐角三角函数、“单位圆

定义法”、“终边定义法”。这三个概念之间的关系，有的学生搞不懂，把他们混 为一谈。当提到三角函数的概念时，学生脑海中会跳出哪种概念呢?有的学生对 初中的概念印象深刻，有的学生只一记住了“单位圆定义法”，还有的学生会把三 种定义全都准确写出来等等。对于很多学生来说，这三种概念是独立的，不知道 他们之间的内在关系，至于一个概念会有三种说法，学生们就更搞不清楚了。 由于三角函数包括正弦、余弦等六个函数，各有不同的解析式、性质和图像， 而其他函数只有一种形式，三角函数是学生所学函数中最特别的，所以学生搞不 清楚这六个函数之间的关系。此外，三角部分还有解三角形的内容，所以很多学 生把三角部分所学内容混为一谈，比如:有学生认为余弦定理是余弦函数;翎玄 函数的对应关系是正弦函数等。学生只知道学过很多三角的相关内容，却不知道 其中的联系和区别。

学生对正切函数的理解最薄弱，学生对正弦、余弦函数的理解明显好于对正 切函数的理解，在第9题(l)的测试中，238个被试中只有4人作对，可见学生对 正切函数的理解存在很大的问题。

学生在学习三角函数时受到诸多因素的影响，学习上存在很大困难。(l)对

角度制、弧度制的理解有困难，无论在表述还是书写上都存在错误。(2)对三角 角形只适合于锐角三角函数的相关问题的解决，而

高中阶段所研究的角是任意角，要用任意角的三角函数来解决相关问题。此外， 二者的起源各不相同，初中锐角三角函数源于解三角形和三角的相关计算，任意

三角函数的主要内容 第二篇_三角函数教材分析

三角函数教材分析

学号::105012011112 姓名：冯远翔 班级:教师3-2班

一、内容组织

1、内容简介

本章内容主要包括三角寒素任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、诱导公式、三

角函数的图象和性质、三角函数模型及其应用.

三角函数是一种基本初等函数，它是描述周期现象的数学模型，在数学与其他领域中具

有重要的作用，三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础.本章内容

可以看成是数学中“函数”一章的延伸和拓展，因此，在学习过程中药注意体会三角函数与

一般函数之间的关系，即共性与个性的关系.三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数.

也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数

将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种

线段的长度来定义.三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究

周期性现象的基础数学工具.

三角函数也属于函数范畴，那么，之前学习函数时所研究函数的图像及性质，对于三角

函数同样的需要研究.函数的种类很多，而三角函数则是函数研究几何的一种工具，通过角

度来认识代数关系.三角函数同样有函数的三要素、符号和表达式.

为了更好的学习三角函数，教材引进了任意角和弧度制的概念作为基础认识.本节教材

重点研究三角函数的诱导公式、三角函数线、三角函数yAsinxb的奇偶性，单调

性、周期性、最大和最小值.

以下是三角函数的定义.

设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1x,y，由

于角的终边与角α的终边关于原点对称，角

的终边与单位圆的交点P2与点P1关于原点O对称，因

此点P2的坐标是x,y，由三角函数的定义得：

siny cosx tany x

y xsin()y cos()x tan()

从而得到：

公式一 公式二

公式三

公式四

我们可以用下面一段话来概括公式一道四：

k2(kZ)，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成

锐角时原函数值的符号.

如图，设任意角的终边与单位位圆的交点P1的坐标为(x,y).由于角



2的终边与角的终边关于直线yx对称.角

2的终边与单位圆

的交点P2与点P1关于直线yx对称,因此P2的坐标为(y,x).于是我们有

y co)y si)x cosx sin22

从而得到公式五 公式六

，则由公式四及公式五得到公式六） 22

公式五及六可以概括如下 （由于

的正弦（余弦）函数值，分别等于的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成2

锐角时原函数值的符号.

利川公式五.或公式六，.可以实现正弦函数和余弦函数之间的转化，公式一到六都叫故诱导公式.

由前面的例子可以看出，函数yAsin(x)b及函数yAcos(x)b（其中A，，为常数，且A0,0）的周期仅与自变量的系数有关

（1）周期性

其周期为T2

.

（2）奇偶性

观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称，由诱导公式sin()sin,cos()cos，可知：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

（3）单调性

3 我们可以先在正弦函数的一个周期区间上（如,）讨论他们的单调性，再利22

用他们的周期性，将他们的单调性扩展到整个定义域上. 正弦函数在每一个闭区间2k,2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到22

32k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1. 1；每一个闭区间2k,22

（4）最大值与最小值

 正弦函数当且仅当2k(kZ)取得最大值1，当且仅当2k(kZ)取得最小22

值1.

正弦函数当且仅当2k(kZ)取得最大值1，当且仅当2k(kZ)取得最小值1.

2、来龙去脉

在初中，学生没有学习过三角函数，而是学习了一次函数、二次函数、反比例函数等简单的函数类型.但是学生有学习过平面几何以及函数的基本知识，这为以后的学习打下了基础.初中学习的相似三角形、全等三角形、平角、直角、特殊角等通过这些认识了教的应用、

到高中，初次学习三角函数，是在学习了函数的概念及其性质之后，知道三角函数为任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.运用函数的相关知识来理解三角函数则更加清晰明了.另外，高中的三角函数是从几何图形抽象为代数语言，其形式更加严密、更加准确，但也更加难懂，着也是高中数学的特点.

今后，学生还将学习三角恒等变换、解三角形等等知识都需要运用到三角函数的知识来解决.并且更加深入的了解三角函数在学习、生活、工作中的应用.重新认识三角函数在高中知识体系中的地位与作用.

3、核心内容

三角函数的核心与函数的核心是有不同，函数的概念的核心是函数的对应法则，具有相同的定义域 和对应法则的函数是同一函数，但是三角函数是周期函数，并且其几何性质改变了三角函数的函数着一特点.就是可以有不同的对应法则是同一个函数.三角函数的核心在于在对应法则在最简的时候同时有相同的定义域，呢么才是同一个函数.另外，三角函数的诱导公式决定了这一性质.在三角变换中、截三角形等问题中其对应法则的唯一性与多样性是特别注意的.

另外一方面，三角函数一般是在任意角与弧度制的基础上运算更加快捷，但是不能只知道运用弧度制来做，需要变通才行.而三角函数的其他性质都与函数的概念及性质类似的可以认识学习.

4、三角函数的属性与层次

三角函数的概念与性质是逐步形成并深化的，它的属性有概念、表示、性质、运算，在中学，没有三角哈数的概念，但是学习了基本初等函数的知识，为高中的学习做好了准备.

三角函数本身也是函数，它具备函数所以的内容，并且还具有自身的独特性.它是高中学习的一个超越函数，运用牙就函数的方法来研究三角函数，通过直观的几何背景，总结出运用比例值来表示角，规定弧度制来刻画这一命题.再探究其表示方法、函数线图像、函数的单调性、奇偶性、最值、周期性等.在这一层次探索三角函数的本质特性.

不同于其他函数的，是它有自己的领域.用代数的符号来解决几何中一些难题.从角度过度到弧度，这是跨领域的桥梁.运用数形结合的思想来了解几何背后的代数问题.三角函数的个特殊的函数体系，在纵轴上的有限于在横轴上的无限体现了数学的自然美.更体现出其特殊.

5、学习三角函数概念与性质的关键环节

对三角函数的概念的认识，应明确

(1）三角函数也是函数，它具备函数的任何条件.同样有哈数的三要素（定义域、对应法则、值域）.

(2）深刻理解三角函数的定义域为整个实数域.因为受弧度制的影响或没有清楚地分开弧度与角度的关系，导致理解错误.

(3）因为三角函数具有周期性，其正弦和余弦是可以通过变换转化的，因此，对应法则不一定相同但也可能是同一个函数.

(4）对三角函数的本质要认识清楚.任意角的函数值可能相同，也可能不同.正角与负角只是方向的相反.图像的平移，伸缩变换要通过亲自动手才鞥深刻的体会到三角函数的变换过程.

对三角函数基本性质的教学与函数的教学相似.关键是强调研究函数性质的“三部曲“，建立研究函数性质的策略知识.

具体地，研究三角函数性质是的”三部曲“如下

1)观察图像，发现函数图像特征；

2)结合图、表，用自然语言描述函数图像特征；

3)用数学的符号语言定义函数的性质.

6、不同的概念体系

人教 B 版—— 先以研究正弦函数为重点，从研究的方法到产生的结论，形成完整的研究过程.苏教版突出了三角函数周期性的地位，更符合新课标的要求.人教版教材关于三角函【三角函数的主要内容,】

数的性质以并列的形式呈现，但事实上对于学生而言，各条性质的学习在难易程度上是有很大区别的.三角函数出现了周期性，使学生没有任何经验可供类比，加之周期函数概念的抽象，造成了一个学习难点.而对三角函数周期性的理解，又关系到求极值点和单调性的学习.因此，周期性体现了三角函数性质的特殊性.

二、学生理解

1、学生理解三角函数概念及性质的基础

学生在学习了函数的概念及性质后再学习三角函数，他们会把函数的知识套用到三角函数上，这样做其实是正确的.但是，要注意的是，三角函数又具有它自身的特点，三角函数的本质是角度对应任意两边的比值为因变量的函数.初学者没有抓住三角函数的这样的特点，很难理解它的符号含义.

学生在初中已经学习过函数的三种表示方法，在函数的概念及性质那一节中又学习了函数和映射，对三角函数的认识提高了很多.但是，三角函数在一开始首先介绍任意角和弧度制，旨在让学生从新的角度来认识三角函数，区别于普通函数的概念.弧度制的引入为更好的解决三角函数定义域中实数与角度的关系，更利于计算.在之后的章节里则很轻易的运用以前学过的函数知识解决了三角函单调性、周期性、奇偶性、最值等问题.

2、学生自发的方法

（1）求三角函数值，代入化简求值是学生自发解决；

（2）类比函数的概念及性质，学习了解三角函数的概念及性质；

（3）对三角函数单调性和周期性的判断，学生会自发通过画图进行治肝炎判断；

（4）对三角函数奇偶性的判断，学生会组发同哟图像对称型进行直观判断；

（5）研究函数的最大、最小智时，学生会自发借助数形结合思想进行简单判断.

3、学生的学习能力限度

在学习了函数的概念之后，大多数学生会通过类比到三角函数学习.然而，三角函数特别于其他函数的是它的定义域和对应法则，定义域通常会用弧度制，对应法则为超越函数符号.在没有真正认识三角函数的本质及其内容很难理解.

三角函数的函数性质的研究需要学生动手去做.三角函数的变换很容易混淆，左右平移的方向、伸缩的正负方向都容易做错.

4、具体内容的难易

正弦函数、余弦函数、正切函数等各个三角函数的定义，三角函数的单调性、平移变换、伸缩变换、对称性、诱导公式都是三角函数教学的重点.

高中一开始接触三角函数符号很难理解它的含义，没有认识到三角函数的几何意义，对三角函数的认识与掌握有一定的难度.三角函数的变换常常会使得学生晕头转向，错误的判断变换的方向和大小，由于新学习的任意角与弧度制不够熟悉，无法直接从几何角度的维度过度到代数运算的层面.由于三角函数的定义域一般为角度，那么第一节中介绍的任意角及其周期性，再结合三角函数变换中很容易导致学生遗漏所求得的角度.

与必修一学习的函数的概念及其性质相似，三角函数的概念及其性质的研究方法也可以通过同样的方式来探索，往往通过给出几个特殊具体的几何图形归结出三甲函数，让学生通过观察获得函数的几何定义或函数性质的直观认识，在利用图表探究函数的数量关系特征，并通过代数运算，验证法相的数量特征对定义域中的数用弧度制更加的方便灵活，最后概括道一般而形成基本性质的定义.

5、学生典型误解与认知重组

（1）关于符号cosx,sinx,tanx等等，sinc/ost/an是函数，cosx,sinx,tanx是将sinc/ost/an施加于x的结果，在学习过函数的前提下，学生知识对sin/cos/tan的含义不熟悉.

三角函数的主要内容 第三篇_三角函数概念、公式

三角函数

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

定义

如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对于AB与AC的夹角∠BAC而言：

对边（opposite）a=BC

斜边（hypotenuse）h=AB

邻边（adjacent）b=AC

注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。

罕见三角函数

除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：

单位圆定义

六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，

单位圆的方程是：x2+y2=1

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ = y/1 和 cosθ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度 θ 和任何整数 k。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

其他四个三角函数的定义

在正切函数的图像中，在角 kπ 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 (

k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷．

三角函数

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定

义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的弦 AB，这里的 θ 是对向角的一半，sin θ 是 AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ 是水平距离 OC，versin θ =1-cosθ 是CD。tanθ是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ 是另一个切线段 AF。 secθ =OE 和 cscθ =OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsecθ = secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

级数定义

只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立：

这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅里叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。 其他级数可见于：

三角函数的主要内容 第四篇_高考三角函数重要知识点归纳总结

一．任意角和弧度制（等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角） 1l||r （是圆心角的弧度数）

2扇形面积公式：S

11

lr||r2 22



3.与弧度有关的时针、分针问题：分针一小时转一周，每分钟转过6；时针一小时转过4.与终边相同的角的表示成一个集合：S

1

周，每小时转30. 12

2k,kZ

1.在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原点的距离

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