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中考圆的综合题 第一篇_2015北京中考一摸圆的综合题汇编

2015北京中考一摸圆的综合题汇编

海淀25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交

BC于点F，CE为⊙O的直径.

（1） 求证：OD⊥CE；

（2） 若DF=1， DC=3，求AE的长．

平谷25．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，∠BAC=2∠CBE，

交AC于点E，交⊙O于点F，连接AF．

（1）求证：∠CBE=∠CAF；

（2）过点E作EG⊥BC于点G，若∠C=45°，CG=1，

求⊙O的半径．

西城25．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB

并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，

连接AD，DE．

（1）依题意补全图形；

（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．

东城25. 如图,在⊙O中，AB为直径，OCAB，弦CD与OB交于点F，过点D,A分

别作⊙O的切线交于点G，且GD与AB的延长线交于点E．

（1）求证：12;

（2）已知：OF:OB1:3，⊙O的半径为3，求AG的长．

房山25．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，

过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E. 过点A作⊙O的切线交ED的

延长线于点G.

（1）求证：GE是⊙O的切线； （2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长

延庆25. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．

（1）求证：∠ACM=∠ABC；

（2）延长BC到D，使CD = BC，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为2，ED =1，

求AC的长．

[w

通州25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF.

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长 .

B

AP

门头沟25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作

⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F．

（1）求证：FE⊥AB；

3（2）当AE=6，sin∠CFD=时，求EB的长． 5

燕山25．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的

切线DE交AC于点E．

（1）求证：∠CDE＝90°；

（2）若AB＝13，sin∠C＝5，求CE的长． 13

中考圆的综合题 第二篇_中考圆与四边形综合题

长安勤学练教育

中考圆与四边形难题解析

◆考点分析

特殊四边形主要包括梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，中考中有关考题大多以容易题或中档题为主，因此更多体现了对基础知识的考查。近年的中考题中也出现了一些探究题、折痕问题、图形变换问题等新题型。

圆是初中几何的重要学习内容，它具有很多主要性质，知识的前后联系密切，能考查学生综合应用数学知识的能力，是历年中考的重点。主要包括以下几种类型：圆的有关性进而证明面积等。 ◆典型例题

例1 （2007芜湖）是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、

【解题分析】

. 解法一．如图2.1-1，将正方形BDEC上的等边△ABC向下平移得等边△ODE，其底边与DE重合．得出OD =OA=OE即可。

解法二．如图2，作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点． 设⊙O的半径为r

，可得方程(2r)212r2． 解得ｒ＝2． ∴该圆的半径长为2.

【每题一得】 利用等边三角形、正方形、圆的轴对称性是解决

图

2.2-1

图2.2-2

问题的关键。

【同类变式】（2007芜湖）如图2.2-3，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q．求正方形的边长AB．

例2 （韶关市2007）如图2.2-4，四边形ABCD中，AD不平行BC，

现给出三个条件：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD，③AD=BC.请你从上述三个条件中选择两个条

是等腰梯形；；第三种选择

图2.2-3

A图2.2-5

O.现给出四个.请你以其中的三⑪写出一个真命题，并证明；

D

⑫写出一个假命题，并举出一个反例说明.

例3 （2007台州）把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图2.2-6）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

【解题分析】HGHB．解法1：如图2.2-6，连结AH，

C

H

F

D H

F

图A

∴HGBHBG． 证Rt△AGH≌Rt△ABH(；解法HL2：如图2.2-7，连结GB，证

【每题一得】图形的折叠、旋转、平移等相关的考题越来越多地出现在各地的考题中，关注图形的变换规律的探究是值得关注的考试动向。

【同类变式】（2007扬州）如图2.2-8，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．

（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外）

（2例4 (2007相交于点E、F。

⑪求证：AEABAF图2.2-8

图2.2-9

图2.2-10

【解题分析】解：（1）如图2.2-8，连接DE，连接DF证RtAED～RtADB，

RtAFD～RtADC，分别得到AEABAD2，AFACAD2。（2）两种情况下

仍然通过证明相似可知结论依然成立.

【每题一得】与圆有关的运动变化探究性题型体现了很强的综合性，同时也渗透着数形结合、分类、运动变化等诸多的数学思想方法，并且在实际生活中也有着广泛的应用，所以综合运用所学知识解答以圆为背景的试题也是近年来各地中考的热点题型。

PC【同类变式】(2007潍坊) 如图2.2-11，线段PB过圆心O，交圆O于A，B两点，

切圆O于点C，作ADPC，垂足为D，连结AC，BC．

（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；

（2）

两点，AE外）；

（3

P◆当堂反馈1．（2007AB、BD形2．（2007重庆）已知，如图2.2-14：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC。其中正确结论的序号是 。





图2.2-14

3．（2007资阳）如图2.2-15，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP；

(2) 如图2.2-16，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

4．（2007

点D在OC（1）求证：图2.2-16

（2）若AC

◆配套练习 一、选择题

1．（2007B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于 （ ） A．4 B．33 C．42

D．８

2.2-17

2．（2007金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（ ） A．红花、绿花种植面积一定相等； B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等； D．蓝花、黄花种植面积一定相等

3．（2007内江）如图2.2-20，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图

中考圆的综合题 第三篇_初中数学圆的综合题

1.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－

2

3

x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C4

在线段AB上，以CA为直径的⊙D交x轴于另一点E，连接BE．

（1）设DA＝x，BE＝y，求y与x的函数关系式； （2）当⊙D与直线BE相切时，求点D的坐标；

（3）当△ABE是等腰三角形时，直接写出点D的坐标．

2.在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）． （1）求证：CD是⊙P的切线；

（2）当⊙P与OB相切时，求⊙P的半径；

（3）在（2）的条件下，设⊙P与OB相切于点E，连接PB交CD于F（如图2）． ①求CF的长；

②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．

图2

图1

3.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点M的坐标为（4，3），以M为圆心，以MO为半径作⊙M，分别交x轴、y轴于B、A两点． （1）求直线AB的解析式；

（2）点P（x，0）为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线AB、线段OM于点D、E，过点E作y轴的垂线交直线AB于点F．设线段DF的长为y，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在x的值，使得经过D、E、M三点的圆与△AOB的一边所在的直线相切．若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

4.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点M（4，4），直线y＝－分别交x轴、y轴于B、C两点，以点A为圆心，AM为半径作⊙A． （1）⊙M的半径为_________，b＝_________；

（2）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；

3

x＋b过点M，4

（3）若EF切⊙A于点F，分别交线段AB、BC于点G、E，且FE⊥BC，求

FG

的值． EG

（4）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．

备用备用 图 图

5.已知矩形纸片ABCD，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点P处．

（1）如图1，若E是AD的中点，∠AEF＞60º，连接DP，则与∠AEF相等的角有________个；

（2）如图2，若AB＝5，BC＝4，点F与点B重合，点P在边CD上，在折痕BE上存在一点G到边CD的距离与到点A的距离相等，求此相等距离； （3）如图3，若点P落在矩形ABCD内部，求PD的最小值；

（4）如图4，若AB＝BC＝5，点F与点B重合，以正方形ABCD的中心O为圆心的⊙O恰好与BE、BP都相切，求⊙O的半径．

D C D C

E

E

A B A B( F) F

图1 图2

D C

P

E

A

图3

B

图4

( F)

6.在平面直角坐标系XOY中，一次函数

的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交

于A、B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点

出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．

（1）写出A点的坐标和AB的长；

（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值．

0)和点E(0，4)．0)出7.如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3，动点C从点M(5，

发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也

以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标； （2）以点C为圆心、

1

t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的2

左侧），连接PA、PB．

①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．【中考圆的综合题,】

x

8.如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E． （1）求证：OF∥BE；

（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．

9.如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点(OD＞1),连结BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．

(1) 试找出图1中的一个损矩形．

(2) 试说明(1)中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上．

(3) 随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由．

(4) 在图2中，过点M作MG⊥y轴于点G，连结DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．

E

10.如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动。

(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围； (2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD

是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形。

中考圆的综合题 第四篇_2014中考数学圆综合题(含答案)-1

（3）（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推

3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即①③CE

AB是直径 ②ABCD

DE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC

弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵

AB∥CD

∴弧AC弧BD

六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的

1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB②

DOE；

ABDE；③OCOF；④

弧BA弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB和

ACB是弧

AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

B

即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角 ∴CD

A

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O中，∵

AB是直径 或∵C90 ∴C90 ∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△

ABC中，∵OCOAOB∴△ABC是直角三角形或C90

B

O

A

此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙

O

中，∵四边形

ABC是D

内接四边形 ∴

CBAD180

BD180DAEC

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN

OA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

虽然社会上把中考气氛搞的风声鹤唳异常紧张，但当考完一场后，你会感觉到，这些考试和平常的考试没有什么显著异样。

十、切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA

PBPO平分BPA

十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O中，∵弦

AB、CD相交于点P，∴PAPBPCPD

B

D

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O中，∵直径

ABCD，∴CE2AEBE

A

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线∴ PA

2

PCPB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PCPBPDPE 十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：O1O2垂直平分十三、圆的公切线

AB。即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：Rt

O1O2C中，AB2CO12

（2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。

十四、圆内正多边形的计算

（1）正三角形 在⊙O中△

ABC是正三角形，有关计算在Rt

BOD中进行：OD:BD:OB2；

（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt

OAE中进行，OE:AE:OA 3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt

OAB中进行，AB:OB:OA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

2.

nRnR21

lR

1、扇形：（1）弧长公式：l；（2）扇形面积公式： S

1803602

虽然社会上把中考气氛搞的风声鹤唳异常紧张，但当考完一场后，你会感觉到，这些考试和平常的考试没有什么显著异样。

n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积

数学中考圆综合题

1．如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．（1）求证：CA是圆的切线；

（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=

25

，tan∠AEC=，求圆的直径．

33

1T

连接AD． (1)弦长AB等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；

2T

2如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，

(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

3. 如图右，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。(1)求证：CD为⊙0的切线；2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.

3T

4

4．（已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD． (1)如图①，当PA的长度等于时，∠PAB＝60°； 当PA的长度等于时，△PAD是等腰三角形； (2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．

6.（11金华）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF 的两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA//PE（1）求证：AP=AO；（2）若tan∠OPB=

1

2

，求弦AB的长；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、

D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ▲ ，能构成等腰梯形的四个点为 ▲ 或 ▲ 或 ▲ .

虽然社会上把中考气氛搞的风声鹤唳异常紧张，但当考完一场后，你会感觉到，这些考试和平常的考试没有什么显著异样。

⌒

7．如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．1）3

求证：PM＝PN；（2）若BD＝4，PA＝ AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

2

8T

8．如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.

9．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是AE的中点，OM交AC于点D，BOE60°，cosC

2



1

，2

的长度．

BC1）求A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；3）求MD

9T

10. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的

1

切线； （2）求证：BC=2AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

11如图（1），两半径为r的等圆和

O1和O2相交于M，N两点，且O2过点O1．过M

点作直线

AB垂直于MN，分别交O1

O2于A，B两点，连结NA，NB（1）猜想点O2与O1有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想△NAB的形状，并给出证

AB不垂直于MN，且点A，B在点M

的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请

明；3）如图（2），若过M的点所在的直线给出证明．

11

12．如图12，已知：边长为1的圆内接正方形

ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点．

ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似．

（1）求弦DE的长．（2）若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，三角形

虽然社会上把中考气氛搞的风声鹤唳异常紧张，但当考完一场后，你会感觉到，这些考试和平常的考试没有什么显著异样。

12

13

13.．（本小题满分10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F， (1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且OF=14

31

，求证△DCE≌△OCB． 2

AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB，O交直线OB于E，D，连接EC，CD．

（1）求证：直线AB是O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；

1

（3）若tanCED，O的半径为3，求OA的长．

2

如

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