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三角函数什么时候学的 第一篇_关于高中数学三角函数的学习

关于高中数学三角函数的学习

高中数学的学习是比较复杂的过程，对于三角函数部分，有些同

学表现了较大的困难.这本身除了基础不够扎实，还与其他一些因

素有关.三角函数颇为复杂的函数公式是很多同学难以熟练掌握

的，作为实践教学中，如何使得三角函数能够为大多数同学所熟练

掌握应用是教学的重点.通过对三角函数的特殊规律的研究，从中

把握住学习的要点，通过教学方法的改进适应不同层次学生的接受

能力，是三角函数学习的技巧性的东西，只有不断的研究新的情况，

研究符合学习的规律和教学规律，才能较好地学习这部分内容.

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们

的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常

的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全.现代数学把它们描述

成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系.

一、如何掌握三角函数公式

掌握三角函数的基本公式是最重要的，同学们在学习过程中，由

于随着学习的深入，前面的公式掌握得不够牢靠，导致了后边的学

习跟不上，这就是由于三角函数最基础的公式掌握不够造成的.如

何弥补这个缺陷，最重要的还是要牢记公式，没有别的办法，只有

熟记公式，才能在以后的深入学习中不至于被动.

倍角公式、半角公式、和差化积公式以及积化和差公式，是需要

花时间和精力去掌握的，并且要经常练习，才可以达到运用比较熟

练的地步.

二、掌握基本的解题规律

三角函数的题目有其基本的解题思路和过程，要掌握这些基本的

方法，在高考中，三角函数的题目也无非就是这些内容，不会偏离

了这些基本的解题思路.对于题目，首先应该观察题目的基本叙述，

了解清楚后，看适合于哪类三角函数的公式进行解题，在解题过程

中，对于自己运用公式的熟悉程度是一种考验，一般是运用基本公

式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题

思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的

形式求解.

对于常用的解题方法要熟练掌握，如数形结合法、代入检验法、

特殊值法、待定系数法、排除法等.通过对这些方法的研究，使得

学生不仅掌握这些方法，而且能够举一反三，同时，在应用这些方

法应用时，可以做到综合的运用，而不是单一的、片面的掌握.

举例来说，学习某个函数肯定是先学习定义，而定义一般是用函

数式来定义的，并且定义式中的参数一般会有一定的限制，如一次

函数y=ax+b，a不为0.定义域优先应该说所有的老师都明白，但是

应用的时候就可能会忘记.事实上在方程与不等式的研究中也应该

有“定义域”优先的原则，缺少了定义域就不是完整的函数的定义

了.而函数的值域是由解析式与定义域唯一确定的，所以一般不写，

但它是研究的重点，研究的方法也非常多，并且不同的函数研究的

方法不一样.

三、比较法的学习

通过对函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、图像变换等的理

解和掌握，把握三角函数的这些基本性质，与其他函数进行比较，

以达到比较法的学习.函数的概念、性质的相同、相似点以及它们

之间的差异会给学生在学习中留下较深的印象.通过比较法的学

习，会加深对三角函数的理解和应用.

三角函数具有自身的特点，要从两个方面加以注意：一是三角函

数的图像及性质.函数图像是函数的一种直观表示方法，它能形象

地反映函数的各类基本性质，因此对三个基本三角函数的图像要掌

握，它能帮助你记忆三角函数的性质.此外还要弄清y=asin(ωx+

φ)的图像与y=sinx图像的关系，掌握“a”“ω”“φ”的确切含

义.对于三角函数的性质，要紧扣定义，从定义出发，导出各三角

函数的定义域、值域、符号、最值、单调区间、周期性及奇偶性等.

二是三角函数式的变换.三角函数式的变换涉及的公式较多，掌握

这些公式要做到如下几点：一要把握各自的结构特征，由特征促记

忆，由特征促联想，由特征促应用；二要从这些公式的导出过程抓

内在联系，抓变化规律，这样才能在选择公式时灵活准确.同时还

要善于观察三角函数式在代数结构、函数名称、角的形式等三个方

面的差异，根据差异选择公式，根据差异确定变换方向和变换方法.



四、有条理的归纳总结

三角函数的公式看起来非常多，甚至有些杂乱，让初学者往往无

从下手，也令很多学生在过了一段时间后，会忘记这些基本的公式.

但仔细研究三角函数会发现，其基本的公式是我们必须掌握的，任

意角的转化，掌握了诱导公式，就可以将任意角的计算转化为0°～

90°间角的三角函数.从这方面看，三角函数的特点在于认真地归

纳总结，即将一种较为复杂的状态转化为基本的状态，或者将较为

简单的状态进行解决的过程.

具体来说，我们表示函数习惯于用y=f(x)表示，其中x表示自变

量，y表示函数，f表示对应关系.那么我们注意到：学习三角函数

的过程中，初中就学习了三角函数，但是没有说什么是自变量，什

么是函数，只是在直角三角形中，定义了锐角α的正弦、余弦、正

切.

高中把角推广到任意角之后，给出三角函数的定义时，使用的角

仍然为α，只是定义用解析角的终边上的任意一点的坐标和该点到

原点的距离来定义（特别地，也可用终边与单位圆的交点的坐标定

义），在研究三角函数的图像与性质的时候，才把正弦函数的解析

式写成y=sinx，余弦函数的解析式写成y=cosx.

同样道理，对于三角函数的其他一些内容的掌握，都可以随时进

行归纳总结，随时注重习题与基本课堂知识的结合，注意习题难度

的布置.对于中等难度的习题应该逐步加大，而尽量摒弃过难、过

偏的习题.

三角函数什么时候学的 第二篇_三角函数图像和周期

2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料

第23讲 三角函数的图象与性质

一．【课标要求】

1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；

2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；

3．结合具体实例，了解y=Asin（wx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响

二．【命题走向】

近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法

预测2010年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；

2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+φ）的图象及其变换；

三．【要点精讲】

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．三角函数的单调区间：



2k(kZ)， ysinx的递增区间是2k，22

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递减区间是2k





2

，2k

3

(kZ)； 2

2k(kZ)， ycosx的递增区间是2k，

递减区间是2k，2k(kZ)，



ytanx的递增区间是k，k(kZ)，

22【三角函数什么时候学的,】

3．函数yAsin(x)B （其中A0，0）最大值是AB，最小值是BA，周期是T初相是；其图象的对称轴是直线xk

2



，频率是f



，相位是x，2



2

(kZ)，凡是该图象与直线yB的

交点都是该图象的对称中心

4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的

横坐标变为原来的

1

倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象 

1

倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的向右(＜0＝平移

||

5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 ．．

6．对称轴与对称中心：

ysinx的对称轴为xk，对称中心为(k,0) kZ；



个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。



，

ycosx的对称轴为xk，对称中心为(k,0)；

对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最

值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法

第 2 页 共 10 页

9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x取0、再描点作图。

π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，22

四．【典例解析】

题型1：三角函数的图象

例1．（2009浙江理）已知a是实数，则函数f(x)1asinax的图象不可能是

( ) ．．．

解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为T求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2． 答案：D

例2．（2009辽宁理，8）已知函数f(x)=Acos(x)的图象如图所示，f()

2

,a1,T2，而D不符合要a



2

2，则3

f(0)=（ ）

A.

2211

B. C.- D.

3223

答案 C

题型2：三角函数图象的变换

第 3 页

共 10 页

π1

例3．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象

33π1

解析：y=sin（2x+）

33

1π2倍

横坐标扩大为原来的ysin（x）

纵坐标不变33

π

个单位13ysinx

纵坐标不变3

3倍

纵坐标扩大到原来的ysinx

横坐标不变

另法答案：

ππ11

（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；

3633

11

（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的

33

图象；

1

（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到

3

y=sinx的图象。

例4．(2009山东卷理)将函数ysin2x的图象向左平移所得图象的函数解析式是( ).



个单位, 再向上平移1个单位,4

A.ycos2x B.y2cosx C.y1sin(2x解析 将函数ysin2x的图象向左平移

2



4

) D.y2sin2x

个单位,得到函数ysin2(x)即44

ysin(2x)cos2x的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为

2y1cos2x2cos2x,故选B.

答案:B

【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009山东卷文)将函数ysin2x的图象向左平移象的函数解析式是( ).

A. y2cosx B. y2sinx C.y1sin(2x解析 将函数ysin2x的图象向左平移

2

2





个单位, 再向上平移1个单位,所得图4



4

) D. ycos2x

个单位,得到函数ysin2(x)即44

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ysin(2x)cos2x的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为

2y1cos2x2cos2x,故选A.

答案:A

【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.

题型3：三角函数图象的应用

例5．已知电流I与时间t的关系式为IAsin(t)。 （１）右图是IAsin(t)（ω＞0，||





2

）

在一个周期内的图象，根据图中数据求IAsin(t) 的解析式；

（２）如果t在任意一段

1

秒的时间内，电流150

那么ω的最IAsin(t)都能取得最大值和最小值，

小正

整数值是多少？

解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．

（１）由图可知 A＝300。

11，t2＝， 900180

111

则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝。

18090075

2

∴ ω＝＝150π。

T11

又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，

180180

设t1＝－而||



2

， ∴ ＝



。 6

故所求的解析式为I300sin(150t（２）依题意，周期T≤



6

)。

121，即≤，（ω>0） 150150

*

∴ ω≥300π＞942，又ω∈N，

故最小正整数ω＝943。

点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径

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三角函数什么时候学的 第三篇_高中生应该如何学习三角函数知识

话数外学习

No．09．2012

Yu Shu Wai

Xue Xi

2012年第9期

高中生应该如何学习三角函数知识

刘军强

(西安市东方中学，陕西 西安710043)

摘要：三角函数是高中数学学习过程中的重要模嵌之一，从函数角度来说，这一章节内容是介于初等函数和高等函数之问的一

类特殊函数。高中阶段涉及到的三角函数可以分为以下几类，即：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数以及余割函数，这六种--$函数之间不是彼此独立的，而是相互之间存在密切联系、可以相互进行转化的关系。正是由于三角函数之间可以相互转化

的特点，这一章节的知识应用往往比较灵活，学生在学习过程中往#-_；fIL难把握解题规律，不容易找到解题突破口，在遇到相关类型题目时经常会茫然不知所措，以致造成这一章节内容成为高中数学学习难点之一的结果。下面，笔者就结合自身的教学经验来谈一谈高中【三角函数什么时候学的,】【三角函数什么时候学的,】

生应该如何学习三角函数知识。

献标识码：A

关键词：三角函敦；余弦函数；正切函数中图分类号：G633 文

文章编号：1005—6351(2012)一09—0109一01

一、了解三角函数发展起源。提升学科知识素养

三角函数知识起源于人们在生产生活中对三角形知识的应

用需要，皮蒂斯楚斯在1595年发表了<三角学：解三角学的简明

处理>，最早提出了。三角学”的概念，早期三角学的发展主要依附于天文观测的需要和军事活动中长途迁移的需求，这一时期的人们在科学文化方面还比较落后，人们主要依据太阳和星星作为方向辨别的有效凭证，通过三角学知识能够让人们更加容易的确定自己的方位和行进目标，同时还能依据特殊角规律来估算日期和时间，就这样。三角学知识伴随着其它生产活动的不断深入也逐步发展起来。三角学真正作为一门独立学科开展研究的标志是1964年雷基奥蒙坦纳斯发表的<论各种三角形》，这本书一改传统研究中只注重直角三角形研究的弊端，第一次全面、详细的对三角学知识进行了专门的整理和研究，对任意角的三角性质都做了

行归纳总结，按照弦、切、割的范围对全部公式统一梳理、专门分

类，这样能够有效提升公式的记忆效率；同时，学习过程中还要注

意深入研究公式、定理的推导过程，详细探索推导步骤，这样能够更加深刻、全面的理解三角函数公式，提升学习效果。二是深人学习三角函数的特殊函数特性，高中数学中函数是重点学习内容，很多大题都涉及到三角函数的特性，学生在解题过程中要有意识地向三角函数知识靠拢，巧用三角函数的有界性和周期性来解题。三是加强三角函数与其它数学知识点之间的联系，学习完

函数中的某一类函数值域相似时，就要有意识的进行换元或是转

化，将其它问题归结为三角函数问题，再利用三角函数特性进行参落

．．

三角函数知识以后，一旦遇到题目中某一部分的值域范围与三角

求解。

三、领悟相关数学思想．提高数学思维品质

数学思想是在长期的解题过程中形成的科学的、有针对性的 解题思路总结，灵活运用数学思想，能够将繁琐复杂的数学问题 转化为简单易懂的数学题型。同时，数学思想也是学生数学思维

数

玉k

深刻、精辟的阐述，系统总结了前人在三角学方面的知识成果，自

此以后，人们开始将三角学作为数学上的一个分支开始独立开展

研究活动。十八世纪以后，现代三角学蓬勃发展起来，特别是在

欧拉的大力推动下，数学界开始逐渐把三角量看作是一种与角度对应的函数值，正弦、余弦、正切、余切、正割和余割这六大类三角函数成为三角学研究的主要内容，严格地说，这时才是三角学的

澎

之

q

真正确立。

二、严格三角函数学习过程．培养良好学习习惯

笔者在本文一开始就提到高中生在学习三角函数时经常遇

到各种困难，归纳一下，大致可以分为以下几类：一是对三角函数

公式记忆不够牢固，三角函数学习过程中，由于正余弦、正余切和

正余割这六种函数之处都可以相互进行转化，同时又牵涉到倍角

了学生的学习难度。二是对三角函数的函数特性理解不够全面，

三角函数本身就是函数的一种，只不过它是一种有自身特殊性的 函数，除具有单调性、奇偶性以外，还具有有界性和周期性，部分 学生在进行这一部分函数特性学习时，往往在周期性和有界性的

学习过程中出现这样或是那样的错误，这一部分的考试成绩一直

不理想。三是在面对三角函数与其它数学知识相结合的数学题 时，不容易找到突破口，如对一些特殊的题型应用换元法，或是将

三角函数图形特性与其它知识点进行综合，学生在面对这种类型 的题目时，解题过程往往缺乏灵活性。那么，针对上述的三个问

题，我们在进行三角函数学习时，应该如何把握侧重点呢?我认 为。可以从以下三个方面去着手：一是对三角函数公式进行分类

记忆．在平时的学习过程中，对常用的一些三角函数公式不断进

能力的一种反映，只有具备一定的数学理解能力之后，才会逐渐4*在学 习意识中形成数学思想。高中阶段常见的数学思想主要有 ? 子以下几类：数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想、极限恩

想、整体思想以及方程思想，综合应用这些数学思想．可以有效降毒复

言

低解题难度，下面笔者就以数形结合思想和分类讨论思想为例来

与坐标系当中的四个象限内容一一对应，学习过程中要能够熟练

做出六种常用三角函数在其定义域内的对应图象，通过图象，可 以明确判定出各个函数在不同定义域段落内的奇偶性、单调性， 对于判定弧度值对应的函数值大小这一类型的题目有着一目了 然的效果。同时，通过对基本三角函数Y=sinx(A>o)进行拉伸、

和大家共同探讨一下数学思想在三角函数这一章节知识内容学习过程中的应用。众所周知，三角函数随着角度参数的不断变化 l

I l

和半角之间的恒等变形，导致这一章需要记忆的公式特别多，而且这些公式之问本身又是可以相互转化的，相似性非常强，加大

I

l

i

由于一个周期内三角函数值的正负大小呈现一定的规律性，因此 在采用换元法进行代换时，往往在得出最后结论时需要根据定义

域情况进行分类讨论，依据不同的定义域情况进行对应分析，这

平移以及压缩等手段变换来得到函数y=Asin(‘I)x+啡)(A>o)的具体图象，为复杂三角函数的分析提供了有效途径。另一方面， l

质，更需要灵活、敏锐的数学眼光，以及有针对性、有目的性的解

题思路。学生在这一部分学习时，除了要进行一定数量的题目训 讥

练外，还要不断总结、不断归纳，这样才能真正学好三角函数知

，∞J

万方数据

三角函数什么时候学的 第四篇_三角函数的发展历史

三角学的起源与发展

三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。 西方的发展

三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。 公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)

继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。 (二)中国的发展

我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。1631西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了「三角」名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。

现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世纪中。

贰、三角函数的演进

正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、 正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。

尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16)（1707-1783）在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为60；印度 人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。

意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称AB为 的正弦，把

正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图）， 而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。

A

称此定理为正弦定理。

正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与証明的。中亚细亚人阿尔比鲁尼﹝973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个証明。 也有说正弦定理的証明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论証了正弦定理。他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。 这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。

托勒密（ Claudius Ptolemy ）的《天文学大成》第一卷 除了一些初级的天文学资料之外，还包括了上面讲的弦表：

1

它给出一个圆从 （）° 到180°每隔半度的所有圆心

2

角所对的弦的长度。圆的半径被分为60等分，弦长以每一等分为单位，以六十进制制表达。这样，以符号 crd a 表示圆心角ａ所对的弦长， 例如 crd 36°= 37p4'55"，意思是：36° 圆心

437

角的弦等于半径的

60（或37个小部分），加上一个小部分的60，再加上一个小部分

55的

3600，从下图看出， 弦表等价于正弦函数表，因为

ABABcrd2 sin

OA圓O的直徑120

公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3

和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，整个圆周为，

得出r=3438﹝近似值﹞，然后用勾股定理先算出30°、45°、90°较小角的正弦值，从而获得每隔3°45'早的弧度制概念。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概

念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分 数式。 2.正切、余切

著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929﹞于920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表。

公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表， 而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent﹞函数 。而巴坦尼编制的是余切函数表， 而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。 14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的后裔，他组织了大规模的

天文观测和数学用表的计算。他的正弦表精确到小数9位。他还制造了30°到45°之间相隔为1'，45°到90°的相隔为5'的正切表。 在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？-1349﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中。

3.正割、余割

正割﹝secant﹞及余割﹝cosecant﹞这两个

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