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一阶微商 第一篇_作业答案

第二章 波函数和薛定谔方程

2.1 证明在定态中，几率流密度与时间无关。

it

[证]：在定态中，波函数可写成：(r,t)(r)e

it*

并由此有：(r,t)(r)e

*

E

E

i*j[(r,t)(r,t)(r,t)(r,t)]

2代入几率流密度的定义式 i**

j[(r)(r)(r)(r)]

2则有： 

即 j仅是空间坐标(x,y,z)的函数，与时间无关。

2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度。

1

1re

ikr

（1） （2）



2



1r

e

ikr

从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内（即向原点）传播的球面波。

1

1re

ikr

[解] 因 ，

1

*

1r

e

ikr

rr

1r1*

1ik11ik

rrr则

1

*

i**

j[1111]

2所以

i1r1*ikik112rrr



rr

11



*





kr

r

3



jrr上述结果说明的方向沿矢经的方向，即几率沿方向向外流动，所以1

表示向外传播的球面波。



krj3

r （2） 与（1）类似，求得





此结果表明j的方向沿矢经r的负方向，即几率流流向原点，所以2表示向

内传播的球面波。

2.3 一粒子在一维势场



U(x)0



x00xaxa

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 [解]：由于势函数U(x)不随时间变化 体系的状态波函数满足定态Schrödinger方程



2

2m

(x)U(x)(x)E(x)

2

其中m表示粒子的质量。



2

d

22

2mdx

2

(x)U0(x)E(x)

(U0) (x0,xa)



d

22

2mdx

(x)E(x)

2mE

2

0xa



2m(U0E)



2

令

ddxddx

2



2



0

（1）

(x)(x)02

22

2

(x0,xa) (0xa)

（2）

(x)(x)0

x

2

（3） （4） （5） （6）

(x)e x0

(x)e

x

xa

(x)AsinxBcosx 0xa

当 U0时，，由（4）式和（5）式有

(x)0 (x0,xa)

（7）

根据波函数的连续性，（6）式和（7）式所表示的波函数分别在x0和xa处连续：

(0)B0

(a)AsinaBcosa0

由此得 A0 sina0

an n1,2,3,



na

代入（1）式中的第一式，可得体系的能量：

E

n2ma

2

2

2

2

n1,2,3,

即粒子在势阱中运动的能量只能取分立值，对应的波函数：

n(x)Asin

nax

(x)(x)dx1

*

由波函数的归一化条件



，求得

A

2a

n(x)

2a

sin

na

x

A

1a

2.4 证明（2.6—14）式中的归一化常数

[证] 已知（2.6—14）式的形式

n

Asin(xa)

2an(x)

0

xaxa

，有：

由波函数的归一化条件

A





dx1

2



aa

sin

2

n2a

(xa)dxaA1

2

A

1a

所以

2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置

n(x)[解] 由谐振子状态波函数

1/2

e



x

2

22

Hn(x)【一阶微商,】

得到振子在点x处出现的几率密度

n(x)(x)

2

x

2

Hn(x)

2

当n1时，H1(x)2x

1(x)

2

3

xe

2x

22

0

x

1

d1(x)

x由

dx

有，

or

x

即振子处在第一激发态时几率最大的位置

2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(x)U(x)，试证明粒子

的定态波函数具有确定的宇称。

[证]：由于势函数U(x)与时间t无关，粒子的波函数(x)满足定态Schrödinger方程：



2

d

22

2dx

(x)U(x)(x)E(x)

（1）

其中是粒子的质量。将空间反演：xx



2

d

22

2dx

(x)U(x)(x)E(x)

（2）

因为 U(x)U(x) 所以（2）式可以写成



2

d

22

2dx

(x)U(x)(x)E(x)

（3）

因而，(x)和(x)都是体系哈密顿算符本征方程属于同一本征值E的解，描写同一个状态，它们之间只可能相差一常数

(x)(x)

引入空间反演算符，写成：

ˆ(x)(x)(x)I

空间再反演一次，有

22

(x)(x)(x) 写成：Iˆ(x)(x)

2

2

则有 1 或 1

所以 (x)(x) （对称的，即具有偶宇称） (x)(x) （反对称的，即具有奇宇称）

由此证得在一维势场中运动的粒子，当U(x)U(x)时，粒子的波函数具有确定宇称。

2.7 一粒子在一维势阱

U00

U(x)

0

xaxa

运动，求束缚态（0EU0）的能级所满足的方

程

[解] 因U(x)与时间无关，体系的波函数(x)满足定态Schrödinger方程：

d(x)dxd

2

22



2

2

[EU(x)](x)0

xa

即 dx

(x)2

2

2

E(x)0

ddx

2

(x)2

2

2

2

(U0E)(x)0

2



2

xa

令



2E

2



2(U0E)

在 0EU0的情况下，，均为实数。以上方程可简写成

d(x)dx

22

(x)0

2

x

a

一阶微商 第二篇_量子力学作业完整版

姓名：学号：

1由麦克斯韦方程和物质方程推导出三维波动方程。 解：麦克斯韦方程为 ∇∙

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