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　　三年级数学上册第五单元解决问题的策略测试试题

　　苏教版义务教育数学教科书从三年级上册起，每册都编排一个以《解决问题的策略》为标题的单元，这是小学数学前所未有的教学内容。本单元在学生初步认识常见数量关系，会解答比较容易的两步计算实际问题的基础上编排。例题和习题都是学生没有解答过的实际问题，涉及的题材宽广，不局限于某些类型，引导学生体验常用的数学思想方法，积累解决问题的经验，培养应用数学的意识和能力。全单元编排两道例题，具体内容的安排如下。

　　例1引导学生关注已知条件，从关键条件突破，向问题推理

　　例2应用从条件向问题推理的思想方法，探索实际问题的解法

　　从表格里可以看到，本单元教学的思想方法是：关注已知数量之间的联系，从已知条件向所求问题推理，形成解题思路，找到解题方法。

　　(一) 编排“解决问题的策略”是小学数学教育的创新

　　解决问题的策略有很高的教育、教学价值，对学生当前的数学学习和今后的持续发展有很大的促进作用。

　　1.　解决问题是人们社会生活中的一项十分重要的活动，每个人都需要学会解决问题的常用方法，具备解决新颖问题的能力和信心。

　　前面关于全册内容编排的说明里，曾经说过，人们在日常生活、生产劳动、科学研究以及一生的学习中，经常会遇到各种各样的矛盾，经常要解决各式各样的问题。随着问题被解决，困难克服了、矛盾化解了、事情成功了、个人也进步了。可以说，人们通过解决问题而生存发展。

　　在众多要解决的问题中，有些是解题者已经见过的、熟悉的，有些是陌生的、新颖的;有些已经知道怎样解决，有些暂时还没有解法。对学生而言，常规的、熟悉的、已经会解答的问题，一般在教科书里已经学过和练过。事实上，人们往往会遇到非常规的、陌生的、没有现成解法可以利用的问题，学生应该具有解决这些问题的信心和能力。数学教学不可能把所有的问题都讲全、教完，只能教学其中的一部分。怎样以少量问题为例，教会学生解决大量问题的本领，是数学教学必须认真思考和实践的课题。显然，数学教学不能只抓某些题目的列式计算和最后得数，应该抓住解决问题最本质的思想方法——如何探索问题的解法，这就是解决问题的策略。策略作为解决问题之本，毫无疑问会影响解题活动。事实很清楚，具有策略的人善于解决问题，效率高、效果好，缺少策略的人在问题面前会迷茫、会畏惧，会拿不定主张，想不到办法。策略作为解决问题之本，毫无疑问会影响数学课堂教学。不能用过去教学应用题的办法来教学解决实际问题，新的教学内容既呼唤新的教学方法，也造就新的教学方法。

　　2.　形成解决问题的策略是发展数学思考的重要渠道，尤其对培养实践能力和创新精神具有十分积极的意义。

　　怎样发展小学生的数学思维?总的来说，要通过数感、符号意识、计算能力、空间观念、图形直观、数据分析观念等核心数学内容，发展形象思维和抽象思维。展开些说，要在上述数学内容的教学过程中，经常进行比较与分类、分析与综合、抽象与概括、判断与推理，学会使用思维的各种方法和形式;要在上述数学内容的教学过程中，经常开展观察、猜想、实验、举例、证明等学习活动，培养推理能力，同时关注思维品质的养成。所有数学知识的教学都能发展数学思维，解决问题的策略更是发展数学思维的重要渠道。这样说有两点理由：首先，解决问题的策略是在解决问题实践中逐渐形成的。解决问题时，要把实际问题转化成数学问题，要把数学问题转化成数学方法。解决问题时，要整理信息、理解问题，要分析数量关系、设计解题方案，要实现由已知到未知的推导，所有这些都属于解决问题策略的范畴。既然解决问题的过程是连贯、严密、系统的思维过程，那么教学解决问题的策略必定伴随着解决问题的过程而展开，必定与数学思考相辅相成、共同发展。其次，解决问题的教学留给学生的不都是题目，也不都是答案。他们不可能长时间记住解决过的所有问题及其答案。留给学生的主要是解决问题的经验体会，如进行了哪些活动，是怎样进行的;选择了什么方法，是怎样选择和使用的;是怎样检验结果和评估过程的……这些经验的积累与提炼，逐渐成为个体的策略，势必促进思维的深刻性、批判性、灵活性、独创性等品质的提升。

　　3.　教学解决问题的策略是深入改革传统应用题教学的有效措施。

　　应用题曾经是小学数学中很大且很重要的一块教学内容，在理解数学基础知识、积累常用数量关系、形成解题思路与发展逻辑思维、培养解题能力和习惯等方面起过非常显著的作用。然而，应用题教学也客观存在许多弊端，需要从根本上大力改革。改革应用题及其教学确实是一个难题，教学解决问题的策略，能在一定程度上克服应用题教学的弊端，具体表现为以下几点：第一，策略的应用面非常宽，是解决问题的基础性思想方法。一个策略，不仅能解决同一知识领域里的不同问题，还能解决不同知识领域的问题。以教学策略为线索编排教材，不受实际问题的题型、结构、内容的限制，能够以一个策略和少量例题，带动一大片实际问题的解答，从而克服传统应用题按题目类型教学的弊端。学生也不需要记类型、辨题型、套解法了。第二，策略突出解决实际问题的思考方法，充分利用各种解题资源。探索解题方法，不仅可以从条件向问题推理或者从问题向条件推理，还可以画图列表、枚举计算、假设调整、转化变形，解题有了更大的思考空间和活动平台。学生已有的数学知识和生活经验都是解题资源，主动性、能动性会有很好的发挥。第三，策略使解决问题的一般步骤得到落实，使每个环节都能有效实施。人们解答一个数学问题，一般要经历理解题意、分析问题、制定方案、实施计划、检验结果等系统过程。教学策略就是教会学生理解题意的方法、分析问题的思路、制定解题方案的技术、选择解题的方式、检验与评价结果的形式，积累解题经验和体会，从根本上培养与提高解决问题的能力。前几年课程改革的实验里已经初步看到，教学解决问题策略以后，学生面对新颖的、具有挑战性的实际问题，不是等待老师讲解，而是积极地想办法自己解决，较好体现了教学策略的初衷。

　　(二) 从实际问题的已知条件向所求问题的推理，是解决问题常用的思考方式之一

　　“综合”是常用的思维方法之一，它把若干有内在关系的部分，按某种联系组成整体，帮助人们实现对整体的把握。这种思维方法可以应用于解决实际问题。

　　无论是教科书创设的还是日常生活中形成的问题情境，通常总有若干个已知条件，以及一个或几个需要解决的问题。条件与问题之间有着明显的或隐蔽的联系。正是这些联系，才使问题有可能得以解答，才使条件成为解决问题的资源。而解决问题的关键就在于发现、整理、沟通已知条件与所求问题的联系，像这样探索并形成的条件与问题之间的联系，就是通常所说的解题思路。

　　沟通条件与问题联系的思路，按其思考方向分，一般有三种：一种是从条件出发向所求问题的单向推理;一种是从问题出发向需要条件的单向推理;一种是既从条件向问题，同时也从问题向条件的双向推理。

　　教学解题思路是渐进的过程，上述三种思路需要逐步形成。本单元主要教学“从实际问题的已知条件向所求问题的推理”，尽管解决教材里的实际问题不能完全排除另两种思路，但应该有主次之分。教学常用解题思路既不能“绝对化”，又应有重点地扎实向前推进。

　　从条件出发向问题推理，对解决问题的积极意义表现在以下两点。第一，有利于学生进入问题情境，全面理解问题，形成自己发现和提出问题的习惯与能力。进入问题情境就是通过适当的方式方法，了解事件(实际问题涉及什么事情)、了解数学信息(已知哪些数据，要回答什么问题)，产生解决问题的愿望和信心。从条件向问题推理的基本方法是：先在已知条件中找出有直接联系的两个，并利用这两个条件提出一个问题，算出一个新的数量。这个问题的提出，很可能是解题迈出的一步;这个新数量的得出，很可能为解题增加了一个有用数据。再找出与新数量有直接联系的一个条件，提出一个问题，算出一个更新的数量。很可能解题又迈出了一步，又增加了一个有用的数据。像这样继续寻找条件之间的直接联系，持续提出新的问题，算出新的数据，持续向所求问题推进，直至所求问题得到最终解决。可见，从条件向问题推理的过程，是一系列“利用条件、提出问题”的活动，是对问题情境里的数学信息进行“再加工”的开发活动。在此过程中，学生对实际问题的理解逐步深入，他们的问题意识，即发现和提出问题的习惯和能力得到了实实在在的培养，这正是数学课程标准所期望的。第二，能够把比较复杂的问题化简。找到问题情境里有直接联系的已知条件，并利用它们得出新的数量，经常会把较复杂的问题简化。如“用地砖铺成一块长方形场地，其中白地砖有8行，每行15块。花地砖比白地砖少70块，花地砖有多少块?”问题情境的三个已知数量中，“白地砖8行”“每行15块”有直接联系，利用它们能算出“白地砖有120块”。这样，原来的问题就变成“用地砖铺成一块长方形场地，其中白地砖有120块，花地砖比白地砖少70块，花地砖有多少块?”显然，两步计算的问题化简成了一步计算的问题。

　　正是由于从条件向问题推理具有上述的特点与作用，再加上实际问题总是由条件与问题构成，所以人们经常按“条件向问题推理”的思路分析数量关系，作为解决物体的基础性的思想方法，成为解决问题的一种常用策略。

　　(三) 教材设计了一条“从条件向问题推理”的教学线索

　　学生在学习一步计算的实际问题时，已经能够根据给定的两个已知条件提出一步计算的问题，具备了学习“从条件向问题推理”的思想基础。本单元运用“从条件向问题的推理”解决两步计算的实际问题，编排两道例题和两个“想想做做”。全单元整体设计了“启发引导——感受体会——直接应用——逐渐深化”四个阶段，为每道例题的教学设计了“完整理解题意，抓住条件思考——分析数量关系，形成解答计划——实施解答方案，选择解题方式——回顾解答过程，积累解题经验”四步过程。

　　1.　例1引导学生从条件想起，初步获得从条件向问题推理的体会。

　　教材精心设计的例1是这样一道题：小猴第一天摘30个桃，以后每天都比前一天多摘5个。小猴第三天摘了多少个?第五天呢?学生读题以后，会把注意力集中在“以后每天都比前一天多摘5个”这个条件上面。教材鼓励学生深入思考，充分说说对这个条件的理解，把比较概括的已知条件尽量说具体、说详细。正像“蘑菇”卡通说的“第二天比第一天多摘5个，第三天比第二天多摘5个……”“萝卜”卡通说的“第一天摘的个数加5等于第二天摘的个数，第二天摘的个数加5等于第三天摘的个数……”这就是例题教学的第一步，引导学生抓住一个已知条件，踏上从条件向问题推理的起点。

　　出于对已知条件“每天都比前一天多摘5个”的充分理解，多数学生就会形成自己的解题主张，很自然地依次计算第二天、第三天……各摘多少个桃。这些想法，不是教材或别人告诉学生的，而是他们根据条件向问题推理的结果，是分析数量关系的结果。

　　解题的方式不再是唯一地列式计算，其他方法都可以使用。就这道题来说，在表格里逐一列举各天摘的个数，无疑是很好的方式。教材要求学生通过填表或列式计算求出答案：

　　第一天

　　_x0007_第二天

　　_x0007_第三天

　　_x0007_第四天

　　_x0007_第五天

　　_x0007_

　　_x0007_30个

　　_x0007_

　　_x0007_

　　_x0007_

　　_x0007_

　　_x0007_

　　_x0007_第二天：30+5=35(个)

　　第三天：

　　第四天：

　　第五天：

　　当然，除了从第一天的30个连续加5，依次计算第二天至第五天各天摘的个数，还可以通过30+5×2直接求第三天摘的个数，通过30+5×4直接求第五天摘的个数。但教材不希望教学在这里花费太多精力，因为这些不同算法不是例题的教学重点，例题不以算法多样为教学任务，要把教学精力放在从条件向问题推理的解题策略上面。

　　回顾解决问题的过程，交流解题的体会，是学生形成解决问题策略不可缺少的环节。每个人都会有自己的体会，学生之间的体会不会完全相同。但是，“从条件想起，向问题一步步靠拢”应该是所有学生的共识。为此，可以让学生比较上面的填表格解答和列算式解答有什么相同，是怎么想到依次求出各天摘的个数的。从而体会自己是从条件“每天都比前一天多摘5个”得出解题思路和方法的，感受像这样思考是解决问题的一种有效方法。

　　配合例1的“想想做做”编排5道题。题材丰富，富有趣味性;题目新颖，富有探索性;解答方式多样，富有灵活性;难度适中，面向全体学生。要抓住例题教学的策略，组织学生解题和交流。如，第1题“根据已知条件提出不同的问题”，要突出利用什么条件提出什么问题，并且强调所提问题之间的连续关系。即先利用两个条件提出一步计算的问题，再利用算出来的数据和某个已知条件提出接着计算的问题。其中第(1)小题先根据左边天平表示的“4个苹果重500克”，提出问题“每个苹果重多少克”，并算出每个苹果重125克;再根据右边天平表示的“一个梨比一个苹果重20克”，提出问题“一个梨重多少克”。又如，第(2)小题先利用“3盒钢笔”“每盒10支”提出问题“一共有多少支钢笔”，并算出钢笔的总数30支;再利用“钢笔30支”“圆珠笔比钢笔多18支”提出问题“圆珠笔有多少支”。又如，第2题“皮球从16米高处落下，每次弹起的高度总是它下落高度的一半，求第3次、第4次各弹起多少米。”要让学生在读题以后，关注并充分理解“每次弹起的高度总是它下落高度的一半”，由这个已知条件引发解题思路，选择解答方式。再如，第3题应该让学生体会到“从左往右数，芳芳排在第9”“从右往左数，兵兵排在第4”是画图的依据，根据这些已经条件画出示意图，就能看出问题的答案，想到算式怎样列。

　　2.　例2进一步加强从条件向问题推理的思路，培养自觉地像这样分析数量关系的意识与习惯。

　　经过例1的教学，学生初步感受了从条件向问题的推理是解决问题的一种策略。在此基础上，例2加强对这种策略的体验，促进学生自觉地利用这种策略探索问题的解法。

　　例2通过三个小朋友的对话给出已知条件：“绿花有12朵”“黄花的朵数是绿花的2倍”“红花比黄花多7朵”，要求的问题是“红花有多少朵”。教材在找出所有已知条件以后，用线段图表示这些数量关系，从图上能更加清楚地看出这三种花的朵数的关系。

　　例题要求学生根据已知条件设计解题步骤，并说出自己的思考。希望他们利用“绿花12朵”和“黄花朵数是绿花的2倍”，先算出黄花的朵数;再利用“红花比黄花多7朵”，算出黄花有多少朵。再次进行从已知条件向所求问题的推理，体验这样思考的有效性。

　　例题保持“绿花有12朵”“黄花的朵数是绿花的2倍”这两个条件不变，把“红花比黄花多7朵”变成“红花比黄花少7多”，仍然求红花的朵数，仍然像上面那样利用已知条件进行推理。比较变化前后两题，在利用条件向问题推理的过程中，都根据“绿花有12朵”和“黄花的朵数是绿花的2倍”，先算出黄花的朵数，再接着求红花的朵数。这是因为有直接联系的两个已知条件“绿花有12朵”“黄花的朵数是绿花的2倍”没有改变，所以解题思路没有改变。但是，求红花朵数的算法变了，这是因为红花与黄花朵数的关系变了，从“多7朵”变成“少7朵”。

　　教学例2，要让学生进一步体验从条件向问题推理是形成解题思路、找到解题方法的有效途径。体验线段图能直观表示题意，能帮助推理的进行，有利于解题思路的形成。从而增强“从条件出发，向所求问题推理”的自觉性。尤其要注意题目给出的相差关系或倍数关系，这些已知条件往往是分析数量关系的突破口，是从条件向问题推理的关键所在。

　　配合例2的“想想做做”，继续突出本单元教学的策略。第1题根据由线段图呈现的已知条件，有次序地提出连续计算的问题。如，第(1)小题的线段图，依次表示“篮球有50个”“排球比篮球多15个”“足球比排球多20个”。根据这些条件应该先算出“排球有多少个”，再算出“足球有多少个”，这两个问题的先后次序不容颠倒。第(2)小题的线段图上可以看到“桃树48棵”“梨树36棵”“苹果树比桃树和梨树的总数少20棵”。根据这些条件，应该先算出“桃树和梨树一共多少棵”，再算出“苹果树有多少棵”。这道题用线段图呈现数量关系，培养从图中收集数学信息、寻找已知条件的能力。要求“根据已知条件提出不同的问题”，培养利用条件进行推理的能力。第2题“小华、小丽和阳阳参加60米游泳，小华比阳阳多用1秒，小丽比阳阳少用1秒，谁游得最快?谁游得最慢?”这道题可以有多种不同的思考方式。一些抽象思维水平较高的学生，能够发现小华用的时间最多，速度最慢;小丽用的时间最少，速度最快。一些需要具体思考的学生，可以先假设阳阳用了60秒，那么小华需要61秒、小丽需要59秒，谁用的时间最多(少)，谁的速度最慢(快)就容易判断了。要突出的是，无论采用哪一种思考方式，都是根据已知条件“小华比阳阳多用1秒”和“小丽比阳阳少用1秒”进行推理的，都应用了本单元教学的解决问题的策略。

　　练习十编排的实际问题，都要应用本单元教学的思考策略，有利于学生更好地适应从条件向所求问题的推理。有两道题需要作些说明。

　　第4题用表格给出一辆公共汽车某次运行过程中部分站台上、下车的人数，要求算出这辆车从这些站台开出时，有乘客多少人。

　　西门(始发站)

　　_x0007_建设路

　　_x0007_图书馆

　　_x0007_胜利街

　　_x0007_中心广场

　　_x0007_……

　　_x0007_

　　_x0007_上16人

　　_x0007_上9人

　　_x0007_上10人

　　_x0007_上6人

　　_x0007_上11人

　　_x0007_……

　　_x0007_

　　_x0007_

　　_x0007_下1人

　　_x0007_下3人

　　_x0007_下2人

　　_x0007_下12人

　　_x0007_……

　　_x0007_

　　_x0007_共16人

　　_x0007_共( )人

　　_x0007_共( )人

　　_x0007_共( )人

　　_x0007_共( )人

　　_x0007_……

　　_x0007_

　　_x0007_学生解答以后，要引导他们仔细体会“怎样利用条件进行推理”。如，根据始发站开车时有16人，以及建设路上、下车的人数，可以算出车从建设路开出时的人数;根据建设路开出时的人数，以及图书馆上、下车的人数，可以算出车从图书馆开出时的人数……如果不按事情进展的顺序，不根据条件进行有次序的思考，问题就很难解决。

　　第7题“运来香蕉280千克，运来的梨是香蕉的2倍，运来的苹果比香蕉的2倍多70千克。运来梨和苹果各多少千克?”这道题从“求一个数的2倍是多少”带出“求比一个数的2倍多70是多少”，前者是一步计算的问题，后者需要两步计算。即求运来苹果多少千克，应该先算出香蕉的2倍是多少千克，再接着计算比2倍多70千克是多少千克。

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